矩阵的合同标准形什么意思

矩阵合同其实就是合同矩阵。

合同矩阵，在线性代数，特别是二次型理论中，常常用到矩阵间的合同关系。两个矩阵A和B是合同的，当且仅当存在一个可逆矩阵 C，使得CTAC=B，则称方阵A合同于矩阵B。

合同关系是一个等价关系，也就是说满足：

1、反身性：任意矩阵都与其自身合同；

2、对称性：A合同于B，则可以推出B合同于A；

3、传递性：A合同于B，B合同于C，则可以推出A合同于C；

4、合同矩阵的秩相同。

矩阵合同的主要判别法：

设A,B均为复数域上的n阶对称矩阵,则A与B在复数域上合同等价于A与B的秩相同.

设A,B均为实数域上的n阶对称矩阵,则A与B在实数域上合同等价于A与B有相同的正、负惯性指数（即正、负特征值的个数相等）。

当且仅当存在一个可逆矩阵C

使得C^TAC=B

则称方阵A合同于矩阵B

任何二次型都可以化成规范型

只需要在标准型的基础上，将平方项的系数变为1或-1

合同就是规范型中的1，-1以及0的个数都是一样的

那么当然矩阵A合同于其规范型在实数域中，

根据惯性定理，

每个对称矩阵都合同于一个对角线上元素只由0和±1构成的对角矩阵。

如果设1的个数是p，

-1的个数是q，

那么给定(p，q)后，

就确定了一个关于合同关系的等价类。

数对(p，q)称为一个对称矩阵（或相应二次型）的惯性指数。

其中1的个数p称为正惯性指数，

-1的个数q称为负惯性指数。

根据正惯性指数的定义，

如果a的正惯性指数为n，

则a合同于e

矩阵的合同标准形意思是指矩阵标准型的理论来自于矩阵的相似性，矩阵在初等变化下有很多数值不一样的表象，但其本质特征，如秩，特征值，特征多项式等都是相同的，这些相似不变量就是这个矩阵的本质特征，而如何用最简单的形式表征这些矩阵就是标准型的由来了矩阵的标准形一般有3种:1.梯矩阵2.行简化梯矩阵(或称为行最简形)3.等价标准形