标准正交基怎么求例题

正交基的求法比较固定，就是施密特正交化的过程。

将基a1=(1,1,1) a2=(0,1,1) a3=(0,0,1)化成标准正交基。

ab如果垂直，则a点乘b等于0，因此可以这样正交化

a1不变，a2' = a2-a1(a1 .a2)/|a1|^2，这样a2' .a1 = a2 .a1 – (a2.a1)a1.a1

a3 = a3 – a1(a1 .a3)/|a1|^2 – a2'(a2' .a3)/|a2|^2

代入运算即可。

性质：

对一个 n 行 n 列的非零矩阵 A，如果存在一个矩阵 B 使 AB = BA =E（E是单位矩阵），则 A 为非奇异矩阵（或称可逆矩阵），B为A的逆阵。

矩阵非奇异（可逆）当且仅当它的行列式不为零。

矩阵非奇异当且仅当它代表的线性变换是个自同构。

矩阵半正定当且仅当它的每个特征值大于或等于零。

矩阵正定当且仅当它的每个特征值都大于零。

解线性方程组的克拉默法则。

可以先取两个与γ1，γ2线性无关的向量：0 1 0 00 0 1 0然后将这4个线性无关的向量，施密特正交化，显然前2个向量γ1，γ2已经是正交的，下面对第3个向量正交化1 0 0 00 1/2 1/2 1/√20 3/4 -1/4 -1/2√20 0 1 0单位化，得到->1 0 0 00 1/2 1/2 1/√20 3/√12 -1/√12 -1/√60 0 1 0下面对第4个向量，正交化->1 0 0 00 1/2 1/2 1/√20 3/√12 -1/√12 -1/√60 -1/4+3/12 3/4-1/√12 -1/2√2-1/6√2即1 0 0 00 1/2 1/2 1/√20 3/√12 -1/√12 -1/√60 0 3/4-1/√12 -√2/3再把第4个向量单位化，即可