标准正交基的充要条件

|我们知道.对于方阵A,总有： 

  ∑aijAkj＝δik|A|.（∑:求和项为 j＝1,2……,n.以下不再重复注明）. 

  充分性证明： 

  ①|A|＝1,aij=Aij.上式成为∑aijakj＝δik.A满足行正交条件.A为正交矩阵. 

  ②|A|＝-1,aij=-Aij.还是有∑aijakj＝δik.A满足行正交条件.A为正交矩阵. 

  必要性证明：A为正交矩阵,有∑aijakj＝δik.且|A|＝±1. 

  先固定k.让i=1,2.…….n.得到一个非齐次线性方程组,系数矩阵是A. 

  未知数是ak1,ak2,……,akn.常数列是（0,……,1,0……）′.唯一的 

  一个1在第k个方程.按克莱木公式：akj＝Aj/|A|. 

  Aj为A中第j列换为常数列而得的行列式.细看会知道Aj＝Akj. 

  从而,当|A|＝1时,akj=Akj;|A|=-1时,akj=-Akj. 

  注意k的任意性.必要性成立.