1+x分之1-x的反函数

咱们要聊的这个函数，y = (1-x) / (1+x)，它的反函数是啥？

行，先给个痛快话：它的反函数，就是它自己！ 没错，你没听错，y = (1-x) / (1+x) 的反函数还是 y = (1-x) / (1+x)。

是不是有点意思？感觉像玩了个寂寞，绕了一圈又回来了。我第一次算出来的时候，也愣了一下，反复检查了好几遍，生怕哪里搞错了。但数学就是这么奇妙，它不跟你搞虚的，是啥就是啥。

怎么算的呢？求反函数的老规矩，简单粗暴：

1. 把原来的函数 y = (1-x) / (1+x) 里的 x 和 y 地位互换。意思就是，原来是 y 用 x 表示，现在咱们要反过来，让 x 用 y 表示。换完就变成： x = (1-y) / (1+y)。
2. 然后，咱们的目标就是从这个新式子里，把 y 给解出来，用 x 来表示。

来，动手解一下：
x = (1-y) / (1+y)
两边同乘以 (1+y)，当然前提是 1+y ≠ 0，也就是 y ≠ -1。（这个定义域或者说值域的限制，后面还得说道说道，很重要！）
x * (1+y) = 1-y
展开：x + xy = 1 – y
现在要把所有带 y 的项挪到一边，不带 y 的扔到另一边：
xy + y = 1 – x
把 y 提出来：
y * (x+1) = 1 – x
最后，两边同除以 (x+1)，当然，也得要求 x+1 ≠ 0，即 x ≠ -1。（又一个限制条件！）
得到：y = (1-x) / (1+x)

看吧！一模一样！ 这就像你对着镜子里的自己说“你是谁”，镜子里的人也回你一句“你是谁”一样。这种函数，在数学上有一个专门的名字，叫做对合函数（Involution）。简单说，就是自己作用两次之后，能回到初始状态的函数。f(f(x)) = x。咱们这个函数 f(x) = (1-x)/(1+x) 就满足这个性质。

不信？咱们随便找个数试试。
比如 x=0，代入函数得到 y = (1-0)/(1+0) = 1。
现在，把这个结果 y=1 再代入函数，相当于求 f(f(0)) = f(1)：
y = (1-1)/(1+1) = 0/2 = 0。
看，f(f(0)) = 0，是不是回到了最初的 x=0？

再试试 x=2。
y = (1-2)/(1+2) = -1/3。
现在求 f(f(2)) = f(-1/3)：
y = (1 – (-1/3)) / (1 + (-1/3)) = (1 + 1/3) / (1 – 1/3) = (4/3) / (2/3) = 4/3 * 3/2 = 2。
又回到了最初的 x=2。

这种“自己是自己的反函数”的特性，在图像上表现得特别直观。我们知道，一个函数和它的反函数的图像，是关于直线 y=x 对称的。那如果一个函数自己就是自己的反函数呢？那只能说明，这个函数本身的图像就是关于直线 y=x 对称的！

你可以想象一下 y = (1-x) / (1+x) 的图像。它是一个双曲线，有两条渐近线：一条是 x=-1（因为分母不能为0），另一条是 y=-1（因为当 x 趋近于无穷大或无穷小时，函数值趋近于 -1）。如果你画出这个图像，再画出直线 y=x，你会发现，这条双曲线确实是沿着 y=x 对折后能完美重合的。这在视觉上就印证了它的反函数就是它自己。

但是，别忘了刚才我们解方程时留下的那两个小尾巴：y ≠ -1 和 x ≠ -1。这两个条件是干嘛的？

对于原始函数 y = (1-x) / (1+x)：
它的定义域，就是 x 能取哪些值。显然，分母 1+x 不能等于 0，所以 x ≠ -1。这就是它的定义域：除了 -1 之外的所有实数。
它的值域，就是 y 能取哪些值。我们看看 y 能不能等于 -1？如果 y = -1，那么 -1 = (1-x) / (1+x)，解出来 -1 – x = 1 – x，得到 -1 = 1，这显然是不可能的。所以，y 的值永远也取不到 -1。它的值域就是：除了 -1 之外的所有实数。

现在来看反函数。我们知道，原函数的定义域就是反函数的值域，原函数的值域就是反函数的定义域。
既然我们已经算出反函数是 y = (1-x) / (1+x)，它跟原函数长得一样，那么：
它的定义域，也应该是 x ≠ -1。（这正好对应了原函数的值域 y ≠ -1）
它的值域，也应该是 y ≠ -1。（这正好对应了原函数的定义域 x ≠ -1）

完美闭环了，不是吗？

这种自反的特性，让 y = (1-x) / (1+x) 这个函数显得特别“自洽”和“完备”。它不像很多函数那样，求个反函数还得变个模样。它就像一个内向但逻辑自洽的小世界，自己和自己的镜像完全重合。

有时候想想，数学里这种简洁的对称美，还挺让人着迷的。不是那种眼花缭乱的复杂，而是结构本身带来的和谐感。对合这个概念，也不仅仅出现在这一个函数上。比如最简单的 f(x) = x，它的反函数当然是自己。还有 f(x) = -x，反函数也是自己（图像关于 y=x 对称）。f(x) = 1/x 也是一个（x≠0）。它们都有这种“作用两次就回来”的特性。

而 y = (1-x) / (1+x) 这种形式，在数学变换，特别是某些几何变换（比如莫比乌斯变换）里，还挺常见的。它的这种自反性可能在某些推导或者应用中带来便利。

所以，下次再碰到让你求 y = (1-x) / (1+x) 的反函数，你可以自信满满地说：“嘿，这哥们儿的反函数，就是它自己！” 然后，如果想显得更懂行一点，可以再补充一句：“因为它是个对合函数，图像关于 y=x 对称，并且要注意它的定义域和值域都是不等于 -1 的全体实数。” 这样一来，不仅回答了问题，还顺带秀了一把对函数性质的理解。

这函数，你说它简单吧，直接套公式求反函数就行。但你要说它不简单吧，这个“自己是自己的反函数”的特性，以及它背后的对称性、对合性质，还有那两条若即若离的渐近线界定的定义域和值域，又能让人琢磨好一阵子。数学的魅力，可能就在于这种由简入深，又能返璞归真的过程吧。就这么一个看似不起眼的式子，也能牵扯出这么多道道来，挺有嚼头的。