协方差cov计算公式大全

姐妹们，兄弟们！是不是一看到协方差公式就头大？其实没那么难啦！简单来说，协方差就是衡量两个变量一起变化的程度。变化方向相同就为正，相反就为负，数值越大，相关性越强。具体的计算方法有很多，下面就来手把手教你，超级详细，包教包会哦！

先从最基础的讲起，敲黑板！

方法一：定义公式

这是最根本的公式，理解了它，其他的都好说！

Cov(X,Y) = E[(X-E[X])(Y-E[Y])]

看起来很复杂？其实很简单！E是期望值（也就是平均数），X和Y是两个变量。这个公式的意思就是：先分别计算X和Y的离差（每个值与平均值的差），再把对应位置的离差相乘，最后把所有乘积的平均值算出来，就是协方差啦！

举个栗子🌰：

小明和小红最近都在努力学习，想看看他们的学习时间和考试成绩之间有没有关系。

| 天数 | 小明学习时间 (小时) | 小明考试成绩 (分) | 小红学习时间 (小时) | 小红考试成绩 (分) |

|—|—|—|—|—|

| 第一天 | 2 | 60 | 3 | 70 |

| 第二天 | 3 | 70 | 4 | 80 |

| 第三天 | 4 | 80 | 5 | 90 |

先算小明学习时间和成绩的协方差：

1. 计算小明学习时间的平均值 E[X] = (2+3+4)/3 = 3

2. 计算小明成绩的平均值 E[Y] = (60+70+80)/3 = 70

3. 计算每一天的离差乘积：(2-3)(60-70) + (3-3)(70-70) + (4-3)(80-70) = 10+0+10 = 20

4. 计算协方差：Cov(X,Y) = 20/3 ≈ 6.67

同理，可以算出小红学习时间和成绩的协方差，大家可以自己动手试试看哦！

方法二：方便计算的公式

这个公式在实际计算中更常用，因为它不需要先计算平均值，直接用原始数据就能算出来！

Cov(X,Y) = E[XY] – E[X]E[Y]

这个公式的意思是：先计算X和Y的乘积的平均值，再分别计算X和Y的平均值，然后用第一个结果减去两个平均值的乘积，就是协方差！

用上面的例子再算一遍小明的数据：

1. 计算X和Y的乘积的平均值：E[XY] = (260 + 370 + 480)/3 = (120+210+320)/3 = 216.67

2. 计算X的平均值：E[X] = 3

3. 计算Y的平均值：E[Y] = 70

4. 计算协方差：Cov(X,Y) = 216.67 – 370 = 216.67 – 210 = 6.67

看，结果和方法一是一样的！

方法三：样本协方差公式

当我们只有样本数据，而不是全部数据的时候，就要用样本协方差公式。它和方法二很像，只是分母变成了n-1，而不是n。

Cov(X,Y) = Σ[(Xi-X̄)(Yi-Ȳ)] / (n-1)

其中，X̄和Ȳ分别是X和Y的样本平均值，n是样本数量。用n-1是为了更准确地估计总体协方差。

一些补充说明，划重点！

协方差的单位是两个变量单位的乘积，所以不太好直观理解它的大小。

协方差只能反映线性关系，如果两个变量之间是非线性关系，即使协方差很大，也不能说明它们之间有很强的相关性。

为了更好地比较不同变量之间的相关性，可以用相关系数，它是协方差的标准化版本，取值范围在-1到1之间。

怎么样，是不是觉得协方差也没那么可怕了？学会了这些公式，以后分析数据就更有底气啦！记得多练习几遍，熟能生巧哦！还有什么不懂的，可以评论区留言，一起讨论呀！