二阶伴随矩阵

我们先从一个具体的问题开始。假设你有一个矩阵 A，长这个样子：

A =

| 3 1 |

| 4 2 |

在线性代数里，矩阵通常用来描述一种变换。你可以想象它把平面上的一个点 (x, y) 变成了另一个点。但现在，我们不想知道它怎么“变过去”，而是想知道怎么“变回来”。要“变回来”，就需要找到矩阵 A 的逆矩阵，也就是 A⁻¹。而要找到这个逆矩阵，一个关键的中间步骤，就是计算 A 的伴随矩阵，通常记作 A 或者 adj(A)。

对于二阶矩阵，也就是这种两行两列的矩阵，求伴随矩阵有一个非常简单的口诀：“主对换，副变号”。

我们来拆解一下这个口诀。

一个二阶矩阵 A 可以写成更通用的形式：

A =

| a b |

| c d |

“主对角线”指的是从左上到右下的那条线，上面的元素是 a 和 d。“副对角线”则是从右上到左下的那条线，上面的元素是 b 和 c。

• “主对换”：就是把主对角线上的两个元素 a 和 d 交换位置。
• “副变号”：就是把副对角线上的两个元素 b 和 c 的符号变一下，正的变负的，负的变正的。

就这么简单。

我们用回最开始的那个例子：

A =

| 3 1 |

| 4 2 |

按照口诀操作：

1. 主对换：主对角线上的元素是 3 和 2。把它们交换位置，矩阵就变成了：

| 2 1 |

| 4 3 |

2. 副变号：副对角线上的元素是 1 和 4。把它们都变成相反数，也就是 -1 和 -4。矩阵就变成了：

| 2 -1 |

| -4 3 |

好了，这个新得到的矩阵就是 A 的伴随矩阵 A。

A =

| 2 -1 |

| -4 3 |

这就是计算二阶伴随矩阵的全部过程。它是一个纯粹的机械操作，记住口诀就不会错。

但是，这个伴随矩阵到底有什么用？为什么我们要费劲去算它？

它的核心作用，就是作为计算逆矩阵的桥梁。有一个非常重要的公式把原矩阵 A、它的伴随矩阵 A 和它的行列式 |A| 联系在了一起：

A A = |A| E

这里的 |A| 是矩阵 A 的行列式，E 是单位矩阵（主对角线是1，其他是0的矩阵）。对于二阶矩阵，行列式 |A| 的计算方法是“主对角线元素之积减去副对角线元素之积”，也就是 ad – bc。

我们来验证一下这个公式。对于我们那个例子：

A =

| 3 1 |

| 4 2 |

A =

| 2 -1 |

| -4 3 |

先计算 A 的行列式 |A|：

|A| = (3 2) – (1 4) = 6 – 4 = 2。

单位矩阵 E 是：

E =

| 1 0 |

| 0 1 |

所以，|A| E 就是：

|A| E = 2

| 1 0 |

| 0 1 |

=

| 2 0 |

| 0 2 |

现在我们来计算一下 A A，看看结果是不是和上面这个一样。矩阵乘法，就是用第一个矩阵的行去乘以第二个矩阵的列。

A A =

| 3 1 | | 2 -1 | = | (32 + 1(-4)) (3(-1) + 13) | = | (6 – 4) (-3 + 3) | = | 2 0 |

| 4 2 | | -4 3 | | (42 + 2(-4)) (4(-1) + 23) | | (8 – 8) (-4 + 6) | | 0 2 |

结果完全一样。这个公式 A A = |A| E 是成立的。

这个公式非常关键。如果我们想求 A 的逆矩阵 A⁻¹，根据逆矩阵的定义，A A⁻¹ = E。现在我们把 A A = |A| E 这个公式两边都除以行列式 |A|（前提是|A|不等于0）。

A (A / |A|) = E

对比一下 A A⁻¹ = E，你会发现：

A⁻¹ = A / |A|

这就是伴随矩阵的最终使命：它除以原矩阵的行列式，就得到了逆矩阵。

在我们这个例子里，|A| = 2，A 已经算出来了。所以 A 的逆矩阵就是：

A⁻¹ = (1/2)

| 2 -1 |

| -4 3 |

=

| 1 -1/2 |

| -2 3/2 |

到这里，我们从计算方法到它的实际应用都走了一遍。但是，我们还可以从一个更直观的角度去理解它，那就是几何。

一个 2×2 矩阵，可以看作是对整个二维平面的一种线性变换。 想象平面上有一个单位正方形，它的两个顶点分别是基向量 i = (1, 0) 和 j = (0, 1)。当用矩阵 A 去乘以这个平面上的所有点时，整个平面会被拉伸、压缩、旋转或者剪切。

我们的矩阵 A =

| 3 1 |

| 4 2 |

它会把基向量 i=(1, 0) 变换到哪里去？

A i =

| 3 1 | | 1 | = | 3 |

| 4 2 | | 0 | | 4 |

所以，原来的 i=(1,0) 跑到了 (3, 4) 的位置。

它会把基向量 j=(0, 1) 变换到哪里去？

A j =

| 3 1 | | 0 | = | 1 |

| 4 2 | | 1 | | 2 |

所以，原来的 j=(0,1) 跑到了 (1, 2) 的位置。

原本由 (1,0) 和 (0,1) 组成的单位正方形，现在被拉扯成了一个由向量 (3,4) 和 (1,2) 作为邻边的平行四边形。

那么，行列式 |A| = 2 的几何意义是什么？它代表了面积的缩放比例。 原来的单位正方形面积是 1，经过矩阵 A 变换后，新的平行四边形的面积就是 2。任何图形经过 A 变换，面积都会变成原来的 2 倍。如果行列式是 0，说明这个变换把整个平面压缩成了一条线或者一个点，面积变成了 0，这种情况下矩阵就没有逆矩阵，因为信息丢失了，你无法从一条线恢复成一个平面。

那逆矩阵 A⁻¹ 的几何意义就很清楚了：它是做一次反向变换，把那个被拉扯过的平行四边形再变回原来的单位正方形。 它能撤销 A 所做的一切。

现在，我们再来看伴随矩阵 A =

| 2 -1 |

| -4 3 |

我们知道 A⁻¹ = (1/|A|) A。这意味着，伴随矩阵 A 所代表的变换，和逆矩阵 A⁻¹ 所代表的变换，在“方向”上是一致的，只是在“大小”上不同。具体来说，A 也是一个能把变形后的平行四边形“变回去”的变换，但它在变回去的同时，还会把图形的面积再缩放一次。缩放的比例是多少呢？我们可以计算一下 A 的行列式：

|A| = (2 3) – ((-1) (-4)) = 6 – 4 = 2。

这和原矩阵 A 的行列式 |A| 的值是一样的。这是一个普遍的性质，对于任意 n 阶矩阵，有 |A| = |A|ⁿ⁻¹。 当 n=2 时，|A| = |A|²⁻¹ = |A|。

所以，伴随矩阵 A 的变换，也是一次面积缩放比例为 2 的变换。

整个过程可以这样理解：

1. 矩阵 A 把单位正方形（面积1）变成了一个平行四边形（面积2）。

2. 为了变回去，我们找到了 A⁻¹。这个 A⁻¹ 会把平行四边形（面积2）准确地变回单位正方形（面积1）。A⁻¹ 的面积缩放因子（行列式）是 1/2。

3. 而伴随矩阵 A 做了什么呢？它把那个平行四边形（面积2）变成了一个新的图形。这个新图形的形状和单位正方形一致，但是面积是 22=4。

4. 最后，我们用 A⁻¹ = A / |A| 这个操作，相当于把 A 的变换结果再整体缩小 |A| 倍（也就是 2 倍），面积从 4 变回 2，这才最终得到了正确的逆变换。不过这里用面积来类比有点绕，更准确的说法是，A 这个变换本身已经包含了逆变换的几何结构，只是尺度不对。除以行列式 |A| 就是在校正这个尺度。

所以，二阶伴随矩阵不仅仅是一个通过“主对换，副变号”得到的数学小技巧。它在几何上是实现逆变换的核心部分，它承载了“如何撤销旋转和拉伸”的信息，只是缩放的尺度需要通过除以行列式来进行最后的校准。它本身是原矩阵变换的一种“准逆操作”。