1减cosx平方等于多少

1减cos x的平方，等于多少？

答案直接甩脸上：sin²(x)。

对，就是 sin²(x)。没了。

是不是觉得有点……太简单了？就这么个玩意儿，值得写这么多字？嘿，你别说，这里头的事儿，还真不只是一个公式那么简单。这玩意儿， sin²(x) + cos²(x) = 1 ，学名叫三角恒等式，而且是最最基础、最最核心的那种。说它是三角函数世界的“基石”之一，一点都不过分。

你想想，当初学数学，特别是三角函数这块，是不是被各种公式搞得头昏脑胀？什么和差化积、积化和差、倍角公式、半角公式……一大堆，看着就让人眼晕。但你仔细琢磨琢磨，很多复杂的公式，追根溯源，都能回到这个 sin²(x) + cos²(x) = 1 上来。它是老祖宗。没它，后面那些推导，很多都玩不转。

那这个老祖宗又是从哪儿冒出来的呢？其实特别直观，就是从单位圆 (unit circle) 和勾股定理 (Pythagorean theorem) 来的。

想象一下，有个圆，圆心在坐标原点(0, 0)，半径是1。这就是单位圆。现在，从x轴正方向开始，逆时针转一个角度x，在圆周上找到一个点P。这个点P的坐标是啥？按照三角函数的定义，它的横坐标就是cos x，纵坐标就是sin x。也就是 P(cos x, sin x)。

好，现在我们看这个点P，原点O(0, 0)，还有点P在x轴上的投影点Q(cos x, 0)。这三个点构成了一个直角三角形OPQ，对吧？直角边OQ的长度是 |cos x|，直角边PQ的长度是 |sin x|，斜边OP的长度是圆的半径，也就是1。

初中就学过的勾股定理这时候就派上用场了：两直角边的平方和等于斜边的平方。

所以，(OQ)² + (PQ)² = (OP)²

代入我们刚才说的长度：(|cos x|)² + (|sin x|)² = 1²

因为平方会去掉绝对值符号，所以就变成了：

cos²(x) + sin²(x) = 1

看，就这么简单，这么自然。它不是谁拍脑袋想出来的，它是从圆和直角三角形这种最基本的几何图形里“长”出来的。它把代数（cos x, sin x）和几何（圆上的点、直角三角形的边长）完美地结合在了一起。这种感觉，挺奇妙的，不是吗？

所以，回到最初的问题，“1减cosx平方等于多少”，其实就是在问：在一个斜边为1的直角三角形里，如果知道了其中一条直角边（cos x）的平方，那另一条直角边（sin x）的平方是多少？这不就是把勾股定理 cos²(x) + sin²(x) = 1 稍微变个形嘛！

1 – cos²(x) = sin²(x)

搞明白这个，你再去看那些复杂的三角变换，心里就有底了。很多时候，那些看起来眼花缭乱的化简、证明，骨子里就是在反复利用这个基本恒等式以及它的几个变形（比如 1 – sin²(x) = cos²(x)，或者两边同除以cos²(x)得到 tan²(x) + 1 = sec²(x) 等等）。

我记得我上学那会儿，老师讲这个公式，底下总有同学小声嘀咕：“这玩意儿有啥用啊？考试考完就忘了吧？” 当时我也懵懵懂懂，觉得数学就是一堆符号游戏，为了考试而学。但后来接触的东西多了，才慢慢发现，这些基础玩意儿，简直无处不在。

你搞物理，研究简谐振动、研究波动光学，里面描述振幅、相位变化，sin 和 cos 满天飞。能量守恒？振幅分解？经常就要用到 sin²(x) + cos²(x) = 1 来进行计算和转换。比如一个振动的总能量可能保持不变（对应那个“1”），而动能和势能此消彼长（分别对应 sin²(x) 和 cos²(x) 的相关项）。这不就是这个恒等式的物理体现吗？

你搞工程，信号处理，傅里叶变换是家常便饭吧？把复杂的信号分解成一堆不同频率的正弦波和余弦波。分析信号的功率谱密度，计算信号能量，sin² 和 cos² 的积分和运算能少得了吗？这个恒等式是进行能量分析的基础。

你搞计算机图形学，做游戏，做动画，物体要旋转吧？二维旋转、三维旋转，旋转矩阵里是什么？全是 sin 和 cos！计算旋转后的坐标，进行光照模型计算（比如 Phong 模型里的高光计算），经常需要这些三角函数的关系。sin²(x) + cos²(x) = 1 这个关系，保证了旋转操作不会意外地缩放物体（保持长度或距离不变，对应那个半径“1”）。

甚至，看似八竿子打不着的领域，比如统计学里分析周期性数据，经济学里研究商业周期模型，都可能用到三角函数及其恒等式。

所以啊，别小看这个 1 – cos²(x) = sin²(x)。它不只是躺在教科书里的一行字，它是我们理解和描述这个世界运行规律的一块“乐高积木”。一块看起来很简单，但可以用来搭建出无数复杂结构的基础积木。

有时候我在想，数学这东西，妙就妙在它的抽象性和普适性。一个简单的单位圆，一个古老的勾股定理，就能推导出 sin²(x) + cos²(x) = 1 这么一个干净漂亮的等式。而这个等式，又能如此深刻地嵌入到物理、工程、计算机等各种领域，帮助我们解决实际问题。这种由简驭繁、贯通不同学科的力量，才是数学真正的魅力所在吧。

当然，我知道，对很多人来说，学数学的过程是痛苦的。尤其是在应试教育的背景下，我们可能更多地是记住了公式本身，记住了怎么用它来解题得分，却很少有机会去体会它背后的逻辑之美，去感受它与现实世界的联系。那感觉，就像被逼着吃一堆没味道的压缩饼干，管饱，但没乐趣。

但如果你有机会，不妨回头再看看这些“老朋友”，比如这个 1 – cos²(x) = sin²(x)。试着不去想考试，不去想习题，就单纯地去理解它为什么成立，去想想它可能出现在哪些地方。也许你会发现，它不再是那个让你头疼的公式，而是一个蕴含着和谐与秩序的小小窗口，透过它，你能瞥见一点点世界运转的底层逻辑。

所以，下次再看到 “1减cosx平方等于多少” 这个问题，除了脱口而出 sin²(x) 这个答案，或许你心里还会掠过一个单位圆的影子，想起那个在圆周上转动的点，想起那个直角三角形的三条边，甚至，想起那些和它相关的波、振动、旋转……

这感觉，是不是比单纯记住一个公式，要丰富得多，也有趣得多？

数学嘛，有时候觉得它面目可憎，折磨人。有时候，又觉得它简洁得不可思议，美得令人心惊。这个 sin²(x) + cos²(x) = 1 ，就是后者那种感觉的典型代表。它就像一句简洁的诗，用最少的词语，描绘了无穷的意境。

嗯，1 – cos²(x)，它就是 sin²(x)。一个简单到不能再简单的代数变形，背后却是一个深刻的几何事实，一个连接了数学内部不同分支，并延伸到广阔现实世界的桥梁。认识到这一点，比单纯记住答案，重要得多，也带劲得多。