2025年考研数学知识点：积分变换

咱们聊聊积分变换，这东西在考研数学一里头，虽然算不上是每年必考的大题，但一旦在选择题或者填空题里出现，你要是没准备，那几分就白白丢了。而且，这部分的知识点其实不难，就是公式看起来有点吓人，搞懂了套路，拿分还是挺稳的。

首先得搞清楚，考研数学里说的积分变换，主要就是指傅里叶变换。有些同学可能会问拉普拉斯变换，这玩意儿在大部分学校的考纲里已经不怎么要求了，除非你考的特定专业有明确说明，不然主要精力还是应该放在傅里叶变换上。

傅里叶变换是干嘛的？简单说，就是把一个函数从我们熟悉的时间域（或者空间域）换到频率域去分析。有些函数在时间域里看着乱七八糟，没什么规律，但一变到频率域，它的特性就一目了然了。比如，一段声音信号，在时间上听起来就是一堆杂音，但通过傅里-叶变换，你就能清楚地看到它是由哪些频率的声音组成的。

考研数学一里面，关于傅里叶变换，主要考三个核心东西：傅里叶变换的定义、傅里叶级数，还有就是它的性质。

咱们先看定义，也就是那对看起来很复杂的积分公式。一个函数 f(t) 的傅里叶变换 F(ω) 定义是：

F(ω) = ∫[-∞, +∞] f(t) e^(-iωt) dt

反过来，从频域回到时域，叫傅里-叶逆变换：

f(t) = (1/2π) ∫[-∞, +∞] F(ω) e^(iωt) dω

看到这两个公式别慌。你仔细看，它们长得其实很像，就是符号和前面那个系数(1/2π)有点区别。考试的时候，一般不会让你去硬算一个特别复杂的积分，通常会考一些常见函数或者分段函数的变换。

举个例子，求一个矩形脉冲函数的傅里-叶变换。比如一个函数 f(t)，在 [-1, 1] 区间内等于 1，其他地方都等于 0。这算是最基本的一种题型了。

解这种题的步骤很简单：

第一步，把函数带入傅里叶变换的定义公式里。因为函数只在 [-1, 1] 上有值，所以积分上下限就从 [-∞, +∞] 变成了 [-1, 1]。

F(ω) = ∫[-1, 1] 1 e^(-iωt) dt

第二步，直接积分。e^(-iωt) 的原函数是 (-1/iω) e^(-iωt)。

所以积分结果是 [(-1/iω) e^(-iωt)] 从 -1 到 1。

第三步，把上下限代进去算。

= (-1/iω) [e^(-iω) – e^(iω)]

第四步，化简。这里要用到欧拉公式：e^(ix) = cos(x) + isin(x)。

所以，e^(iω) – e^(-iω) = 2isin(ω)。

把这个代回去，就得到：

F(ω) = (-1/iω) [-2isin(ω)] = 2sin(ω)/ω。

这个 2sin(ω)/ω 就是矩形脉冲的傅里叶变换结果，也叫作 sinc 函数。这个结果最好能记住，因为很经典，有时候别的题目里会直接用到。

除了直接用定义算，傅里叶变换的性质也特别重要，因为它们能帮你简化计算。考得比较多的性质有几个：

1. 线性性质：af(t) + bg(t) 的变换，等于 a 乘以 f(t) 的变换，加上 b 乘以 g(t) 的变换。这个性质很简单，就是说可以拆开算。

2. 时移性质：如果 f(t) 的变换是 F(ω)，那么 f(t – t₀) 的变换就是 e^(-iωt₀) F(ω)。你看，时间上平移了一下，频率域那边就只是多乘上了一个相位因子。这个性质在处理有延迟的信号时很有用。

3. 频移性质：这个和时移性质是对偶的。如果在时间域乘以一个 e^(iω₀t)，那么在频率域就表现为平移。e^(iω₀t) f(t) 的变换是 F(ω – ω₀)。

4. 对称性（对偶性）：如果 f(t) 的变换是 F(ω)，那么 F(t) 的变换就是 2π f(-ω)。这个性质很有意思，它说明时域和频域的函数形式可以互换。比如我们刚才算了矩形脉冲的变换是 sinc 函数，利用对称性，我们就能马上知道 sinc 函数的傅里叶变换结果会是一个矩形脉冲。

在实际做题的时候，要学会灵活运用这些性质。比如给你一个长得像 f(t-3) 的函数，让你求它的傅里叶变换，你千万别傻乎乎地又去套定义硬算一遍积分。你只要先算出 f(t) 的变换 F(ω)，然后直接利用时移性质，乘上一个 e^(-iω3) 就行了，能省很多事。

还有一类常考的知识点是傅里叶级数。傅里叶级数是针对周期函数的，它想说的是，任何一个满足特定条件的周期函数，都可以看成是一堆正弦函数和余弦函数（或者复指数函数）的叠加。

对于一个周期为 T 的函数 f(t)，它的傅里-叶级数展开形式是：

f(t) = a₀/2 + ∑[n=1, ∞] (aₙcos(nω₀t) + bₙsin(nω₀t))

其中，ω₀ = 2π/T 是基波频率。

这里的关键是求出系数 a₀, aₙ, bₙ。它们也是通过积分来算的：

a₀ = (2/T) ∫[T] f(t) dt (这里积分区间长度是一个周期 T)

aₙ = (2/T) ∫[T] f(t)cos(nω₀t) dt

bₙ = (2/T) ∫[T] f(t)sin(nω₀t) dt

你看，又是算积分。所以说到底，这部分内容能不能学好，跟你定积分的计算能力关系很大。特别是分段函数的积分，还有利用奇偶性来简化计算，这些基本功一定要扎实。

比如，如果 f(t) 是个奇函数，那你都不用算，直接就知道所有的 aₙ (包括 a₀) 都等于 0。如果 f(t) 是个偶函数，那所有的 bₙ 就都等于 0。考试的时候，先判断一下奇偶性，能省一半的计算量。

准备这部分内容，我的建议是：

第一，把傅里叶变换、逆变换、傅里叶级数系数的几个核心公式背熟。不是死记硬背，要理解每一项代表什么。

第二，把常见函数（比如矩形脉冲、指数衰减函数 e^(-at)u(t)）的傅里-叶变换结果当成结论记住。

第三，把线性、时移、频移、对称性这几个常用性质记牢，并且要会用。

第四，多找几道真题或者模拟题来练手。亲自算一遍，才能体会到哪里容易出错。比如积分上下限搞错，或者化简的时候符号弄错，这些都是常见问题。

总的来说，积分变换这块知识点，就是公式多，计算相对直接。只要你愿意花点时间去理解和练习，把这几分拿到手，问题不大。它不像中值定理或者级数收敛性判断那么绕，它就是实打实的计算，你算对了就有分，算错了就没分，很直接。