log函数公式大全

log函数，也就是对数函数，它其实就是指数函数的“反操作”。 咱们平时说 2 的 3 次方是 8，写成指数就是 2³ = 8。那反过来，要是问你 2 的多少次方是 8？这个“多少次方”就是对数。数学家们用 log 来表示它，写作 log₂8 = 3。 这里的 2 是“底数”，8 是“真数”。

记住，底数 a 必须是大于 0 且不等于 1 的正数，真数 N 必须是正数。负数和零没有对数。

对数函数有两个常见的“小名”：

常用对数 (lg)：底数是 10 的对数，记作 lg。比如 log₁₀100 可以直接写成 lg100。

自然对数 (ln)：底数是一个特殊的无理数 e（约等于 2.718）的对数，记作 ln。 比如 loge10 就可以写成 ln10。在微积分里，自然对数用得非常多。

一、基础运算法则

对数运算有几个基本的法则，这些法则是解决复杂计算的基础。它们都源于指数运算的性质。

1. 乘法法则（积的对数）

   如果要把两个数相乘再取对数，可以把它拆成两个对数相加。

   公式：logₐ(M N) = logₐM + logₐN

   举个例子：计算 log₂(4 8)。

   可以直接算 log₂32，结果是 5。

   也可以用公式拆开：log₂4 + log₂8 = 2 + 3 = 5。结果一样。处理复杂数字时，拆开算更简单。

2. 除法法则（商的对数）

   两个数相除再取对数，可以把它变成两个对数相减。

   公式：logₐ(M / N) = logₐM – logₐN

   举个例子：计算 log₃(81 / 9)。

   可以直接算 log₃9，结果是 2。

   也可以用公式：log₃81 – log₃9 = 4 – 2 = 2。

3. 幂方法则（幂的对数）

   一个数的次方的对数，可以把次方数拿到对数符号前面来，变成乘法。

   公式：logₐ(Mⁿ) = n logₐM

   举个例子：计算 log₂(8⁵)。

   直接算 8⁵ 会得到一个很大的数，不好算。

   但用公式就很简单：5 log₂8 = 5 3 = 15。

二、几个有用的特殊值

有些对数的计算结果是固定的，记住它们能省不少事。

• logₐ1 = 0：任何底数的 1 的对数都是 0。因为任何不为零的数的 0 次方都等于 1。
• logₐa = 1：底数和真数相同时，对数值是 1。因为 a 的 1 次方就是 a。

三、换底公式

很多计算器只有计算常用对数 (log) 和自然对数 (ln) 的功能。 如果想算一个不常见的底数，比如 log₃7，就需要用到换底公式。

这个公式的作用是，把一个对数的底数换成任何你想要的另一个底数。

公式：logₐb = logₓb / logₓa

这里的 x 可以是任何大于 0 且不等于 1 的数，通常我们会把它换成 10 或者 e，这样就能用计算器了。

举个例子：计算 log₃7。

计算器上没有直接算底数为 3 的对数的功能。

这时就可以用换底公式，把它变成我们能算的形式：

log₃7 = log₁₀7 / log₁₀3 ≈ 0.845 / 0.477 ≈ 1.771

或者

log₃7 = ln7 / ln3 ≈ 1.946 / 1.098 ≈ 1.771

从换底公式还能得到一些有用的推论：

logₐb logbₐ = 1: 这意味着 logₐb = 1 / logbₐ。底数和真数互换，对数值互为倒数。

比如，log₂8 = 3，那么 log₈2 = 1/3。

四、对数微分

在微积分里，对数函数求导也是一个基本操作。

• 自然对数的导数：

  (lnx)’ = 1/x

• 一般对数函数的导数：

  对于 y = logₐx，我们可以先用换底公式把它变成自然对数形式：y = lnx / lna。

  因为 lna 是一个常数，所以求导的时候可以直接把它看作系数。

  (logₐx)’ = (lnx / lna)’ = (1/lna) (lnx)’ = 1 / (x lna)

对数微分法

这是一个处理复杂函数求导的技巧，特别是当函数包含很多乘、除和幂次运算时。

基本步骤如下：

1. 对函数两边同时取自然对数 (ln)。

2. 利用对数的运算法则（乘法变加法，除法变减法，幂次变系数）来简化表达式。

3. 对简化后的方程两边同时对 x 求导，这里需要用到隐函数求导。

4. 解出 dy/dx。

举个例子：求函数 y = xˣ 的导数。

这种变量的变量次方的函数，常规方法很难处理。

1. 取对数：lny = ln(xˣ)

2. 简化：lny = x lnx

3. 求导：对方程两边同时对 x 求导。

左边是 (lny)’ = (1/y) y’ （根据链式法则）

右边是 (x lnx)’ = 1 lnx + x (1/x) = lnx + 1 （根据乘积法则）

所以得到 (1/y) y’ = lnx + 1

4. 解出 y’：y’ = y (lnx + 1)

最后，把 y = xˣ 代回去：

y’ = xˣ (lnx + 1)