秩和特征值的关系

咱们来聊聊矩阵的“秩”和“特征值”这两个东西，以及它们之间到底有什么关系。

直接说结论：一个矩阵的秩，等于它所有非零特征值的数量。

是不是听起来有点绕？没关系，我们一点点拆开来看。

首先，得明白什么是“秩”。你可以把一个矩阵想象成一个对空间做变换的操作。比如，你有一个二维平面上的点 (x, y)，用一个 2×2 的矩阵去乘以它，这个点就会跑到另一个位置去。这个变换可能会拉伸、压缩、旋转，或者把整个空间“拍扁”。

矩阵的秩（Rank），说的就是这个变换之后，空间的维度还剩下多少。举个例子，如果一个 2×2 的矩阵把整个二维平面拍成了一条直线，那原来是二维的，现在变成一维了，我们就说这个矩阵的秩是 1。如果这个矩阵只是做了些拉伸或旋转，整个平面还好好地是个平面，那它的秩就是 2。如果一个矩阵把整个平面上所有的点都变成了原点 (0,0)，那它就把二维空间压缩成了一个零维的点，秩就是 0。所以，秩衡量的是矩阵变换后保留下来的“有效维度”。

从线性代数的角度讲，一个矩阵的秩是它列向量（或者行向量）所张成的空间维度，也就是线性无关的列向量（或行向量）的最大数量。

现在我们再看“特征值”（Eigenvalue）和“特征向量”（Eigenvector）。

还是拿空间变换来说事。当一个矩阵对空间进行变换时，大部分向量的方向都会改变。但是，总有那么一些特殊的向量，经过这个矩阵变换后，方向保持不变，只是在原来的方向上被拉长或者缩短了一点。这些方向不变的特殊向量，就是“特征向量”。而它们被拉伸或缩短的倍数，就是对应的“特征值”。

举个例子，想象一下在二维平面上，有一个变换是把所有点的 x 坐标都变成原来的 2 倍，y 坐标不变。那么，任何在 x 轴上的向量（比如）经过变换后，会变成。它的方向没变，长度变成了原来的 2 倍。所以， 就是一个特征向量，它对应的特征值就是 2。同理，任何在 y 轴上的向量（比如）变换后还是，长度是原来的 1 倍，所以 也是一个特征向量，对应的特征值是 1。

如果某个特征值是 0，这意味着什么？

这意味着，与这个零特征值对应的那个特征向量，经过矩阵变换后，直接被压缩成了零向量。也就是 Ax = 0x = 0。这个方程 Ax = 0 有非零解（那个特征向量 x 就是非零解），这说明矩阵 A 会把某个非零的向量直接“干掉”，变成原点。

这些被“干掉”的向量，它们所在的整个空间，就叫做矩阵的“零空间”或“核”（Kernel）。零空间的维度，我们称之为“零度”（Nullity）。所以，一个矩阵有多少个等于 0 的特征值（这里要考虑代数重数），它的零空间维度就是多少。

现在，把秩和零特征值联系起来的关键先生出场了，它就是“秩-零度定理”（Rank-Nullity Theorem）。

这个定理说的是：对于一个 n x n 的方阵，它的秩加上它的零度，正好等于 n。

秩 (Rank) + 零度 (Nullity) = n

我们前面说了，零度就是一个矩阵零空间的维度，它等于这个矩阵的零特征值的个数。 这里的“个数”指的是几何重数，但在很多情况下，它和代数重数是一致的。简单来说，你有几个独立的特征向量对应着特征值 0，零度就是几。

所以，上面那个公式可以这么理解：

秩 + (零特征值的个数) = n

一个 n x n 的矩阵，总共会有 n 个特征值（如果算上重数的话）。这些特征值可以分成两拨：一拨是值为 0 的，另一拨是值不为 0 的。

n = (非零特征值的个数) + (零特征值的个数)

现在对比一下这两个公式：

1. 秩 + (零特征值的个数) = n
2. (非零特征值的个数) + (零特征值的个数) = n

两边都有“(零特征值的个数)”和“n”，把它们都划掉，剩下的是什么？

秩 = 非零特征值的个数

这就是它们俩最直接的关系。一个矩阵的秩，就是它不等于零的特征值的总数（同样，要考虑重数）。

我们来走一个具体的例子。

假设有这么一个矩阵 A:

A = [[1, 2],

[2, 4]]

这是一个 2×2 的矩阵，所以 n=2。

第一步，我们先求它的秩。

矩阵的秩是线性无关的行或列的数量。你看第二行 其实就是第一行 的两倍。这两行是线性相关的。所以这个矩阵里只有一个线性无关的行（或列）。因此，这个矩阵 A 的秩是 1。

第二步，我们来求它的特征值。

求特征值需要解特征方程 det(A – λI) = 0，其中 I 是单位矩阵，λ 是我们要找的特征值。

A – λI = [[1-λ, 2], [2, 4-λ]]

计算它的行列式：

det(A – λI) = (1-λ)(4-λ) – 2 2

= 4 – λ – 4λ + λ² – 4

= λ² – 5λ

= λ(λ – 5)

让这个行列式等于 0，也就是 λ(λ – 5) = 0。

解出来两个特征值：λ₁ = 0，λ₂ = 5。

第三步，验证关系。

我们来看看结果。

矩阵 A 的秩是 1。

矩阵 A 的特征值是 0 和 5。

其中，非零特征值有几个？只有一个，就是 5。

所以，非零特征值的数量是 1。

你看，秩 (1) = 非零特征值的数量 (1)。完全对上了。

我们还可以用秩-零度定理来验证。这个矩阵是 2×2 的，所以 n=2。它的秩是 1。根据定理，它的零度应该是 n – 秩 = 2 – 1 = 1。零度是 1，意味着它应该有一个零特征值。而我们算出来的特征值正好是 0 和 5，确实有一个是 0。这也对上了。

这个关系非常有用。在很多实际问题里，比如在机器学习的主成分分析（PCA）中，我们就是要找一个矩阵最大的那几个特征值。这些大的特征值对应的方向，保留了数据最多的信息。而那些接近于 0 的特征值，说明数据在那些方向上基本没什么变化，维度是冗余的，可以被“降维”处理掉。矩阵的秩在这里就告诉了我们，这个数据本身到底有几个“有效的”或者说“信息量不为零”的维度。

所以，下次你看到一个矩阵，想知道它在做变换的时候，会把空间压缩到什么程度，你就去看看它有多少个非零的特征值。有几个非零特征值，变换后的空间就是几维的，这也就是它的秩。这个关系把矩阵的代数性质（特征值）和它的几何意义（空间变换的维度）直接联系在了一起。