行列式计算方法及技巧

计算行列式，说白了就是把一个方块形状的数字阵列（也就是方阵）算出一个具体的数值。这个数值很有用，能告诉我们很多关于这个方阵的信息，比如它是否可逆。计算方法有不少，有的简单直接，有的更适合处理复杂的大家伙。下面聊聊几种常见的方法和技巧。

从最简单的二阶行列式开始

二阶行列式就长这样：

| a b |

| c d |

它只有两行两列，计算起来最省事，就是主对角线上的元素相乘，减去副对角线上的元素相乘。

计算步骤：

1. 找到主对角线元素 a 和 d，把它俩乘起来得到 ad。

2. 找到副对角线元素 b 和 c，把它俩乘起来得到 bc。

3. 用第一个结果减去第二个结果，ad - bc 就是这个行列式的值。

举个例子，计算下面这个行列式：

| 2 1 |

| 4 3 |

就是 2 3 - 1 4 = 6 - 4 = 2。这很简单，基本不会出错。

三阶行列式和那个好记的“对角线法则”

对于三阶行列式，情况稍微复杂一点，但有一个很直观的方法叫“对角线法则”，也叫“沙路法” (Sarrus’ rule)。 这个方法只适用于三阶行列式，更高阶的就不能用了。

这是一个三阶行列式：

| a1 b1 c1 |

| a3 b3 c3 |

计算步骤：

1. 把行列式的前两列复制到它的右边，形成一个 3×5 的数字阵列。

| a1 b1 c1 | a1 b1

| a3 b3 c3 | a3 b3

2. 画出三条从左上到右下的主对角线，把每条线上的三个数乘起来，然后把这三个乘积加起来。

P1 = a1b2c3 + b1c2a3 + c1a2b3

3. 再画出三条从右上到左下的副对角线，同样把每条线上的三个数乘起来，然后也把这三个乘积加起来。

P2 = c1b2a3 + a1c2b3 + b1a2c3

4. 最后，用主对角线的和减去副对角线的和，P1 - P2 就是结果。

举个例子：

| 1 2 3 |

| 1 0 6 |

第一步，在右边补上两列：

| 1 2 3 | 1 2

| 1 0 6 | 1 0

第二步，计算主对角线之和：

(146) + (251) + (300) = 24 + 10 + 0 = 34

第三步，计算副对角线之和：

(341) + (150) + (206) = 12 + 0 + 0 = 12

第四步，相减：

34 - 12 = 22。

这个行列式的值就是 22。这个方法虽然直观，但写起来步骤多，只适合三阶。

通用大法：按行（或列）展开

当行列式的阶数超过三阶，或者三阶行列式里有很多零的时候，用“按行（或列）展开”的方法就更有效率了。这个方法的核心思想是把一个高阶的行列式，降阶成几个低阶的行列式来计算。

这个方法要用到两个概念：“余子式”和“代数余子式”。

余子式 (Mij)：在一个 n 阶行列式里，把第 i 行和第 j 列的元素都划掉，剩下的元素组成一个新的 n-1 阶行列式，这个新的行列式就叫元素 aij 的余子式。

代数余子式 (Aij)：它和余子式就差一个正负号。Aij = (-1)^(i+j) Mij。 也就是说，当 i+j 是偶数时，代数余子式就等于余子式；当 i+j 是奇数时，代数余子式就是余子式的相反数。这个 (-1)^(i+j) 的正负号分布很有规律，就像一个棋盘：

+ - + - ...

...

计算步骤：

1. 选择行列式中的任意一行或者任意一列。经验上，我们通常选择包含最多零的那一行或那一列，因为这样可以省掉很多计算。

2. 将这一行（或列）中的每个元素，乘以它自己的“代数余子式”。

3. 把上面得到的所有乘积加起来，总和就是行列式的值。

公式写出来就是（以按第 i 行展开为例）：

Det(A) = a_i1A_i1 + a_i2A_i2 + ... + a_inA_in

还用刚才那个三阶行列式的例子：

| 1 2 3 |

| 1 0 6 |

我们选第二行来展开，因为里面有个 0。

Det(A) = 0A_21 + 4A_22 + 5A_23

• A_21 不用算了，因为它要乘以 0。
• 计算 A_22：
  • 它的符号位是 (-1)^(2+2) = +1。
  • 它的余子式 M_22 是划掉第二行第二列后剩下的行列式：| 1 3 | / | 1 6 |，值为 16 - 31 = 3。
  • 所以 A_22 = +3。
• 计算 A_23：
  • 它的符号位是 (-1)^(2+3) = -1。
  • 它的余子式 M_23 是划掉第二行第三列后剩下的行列式：| 1 2 | / | 1 0 |，值为 10 - 21 = -2。
  • 所以 A_23 = -(-2) = 2。

把这些结果代回去：

Det(A) = 0 A_21 + 4 3 + 5 2 = 0 + 12 + 10 = 22。

结果和对角线法算出来的一样。这个方法对于更高阶的行列式同样适用，只是需要一层一层地降阶，直到降到二阶为止。

更高效的策略：利用初等行变换

手动计算高阶行列式时，最强大的方法其实是利用行列式的性质，通过初等行变换把行列式变得更简单。 我们的目标通常是把它变成一个上三角或下三角行列式，因为三角行列式的值就等于它主对角线上所有元素的乘积。

有三类初等行变换，它们对行列式的值有不同的影响：

1. 交换两行：行列式的值要变号。

2. 用一个非零数 k 乘以某一行：行列式的值也乘以 k。所以为了保持值不变，可以先从某一行里提出一个公因子 k。

3. 把某一行的 k 倍加到另一行上：这是最有用的一个性质，因为行列式的值完全不变。

计算步骤：

1. 运用第三种行变换，把某一行（通常是第一行）的倍数加到其他行上，目标是让某一列（通常是第一列）除了第一个元素外，其他都变成 0。这个过程叫作“消元”。

2. 反复进行这个操作，把行列式逐步变成一个上三角行列式。

3. 最终，行列式的值就是主对角线上所有元素的乘积。如果在过程中做过行交换，就要记得把符号变回来。

再来看这个例子：

| 1 2 3 |

| 1 0 6 |

第一列已经有一个 0 了，我们只需要把第三行的第一个 1 消掉。

把第一行乘以 -1 加到第三行上 (R3 = R3 – R1)，行列式的值不变：

| 1 2 3 |

| 1-1 0-2 6-3 |

得到：

| 1 2 3 |

| 0 -2 3 |

这已经是一个上三角行列式了（主对角线左下方的元素都是0）。所以，它的值就是主对角线元素的乘积：

1 4 (3) 这里有个小错误，应该是 1 4 (3 - (-25/4)) 这样计算下去就复杂了。

我们换个思路，继续消元。目标是把 -2 也变成 0。

把第二行乘以 1/2 加到第三行上 (R3 = R3 + 0.5R2)，行列式的值不变：

| 1 2 3 |

| 0 -2+2 3+2.5 |

得到：

| 1 2 3 |

| 0 0 5.5 |

现在这是一个标准的上三角行列式了。它的值就是对角线元素的乘积：

1 4 5.5 = 22。

这个方法在面对高阶、数字又很乱的行列式时，比按行展开要快得多，因为它可以系统地减少计算量。关键是熟练运用第三条性质，让行列式的值在变换过程中保持不变。