函数的单调性与最值

函数的单调性，说白了，就是看一个函数图像是往上走还是往下走。想象一下你坐过山车，有时候车在爬坡，有时候在俯冲。函数也一样，在某些地段，它的值会随着x的增大而增大，我们管这叫“单调递增”；在另一些地段，它的值会随着x的增大而减小，这就叫“单调递减”。

搞清楚单调性有什么用？用处很大。最直接的一个应用就是找一个函数在某个范围里的最大值和最小值，也就是我们常说的“最值”。这在很多实际问题里都有用，比如工厂想知道怎么安排生产能让利润最高，或者工程师设计大桥要计算哪个点的承重最大。

我们先来聊聊怎么判断一个函数是增还是减。最直观的方法就是看图像，图像往上走就是增，往下掉就是减。但我们总不能每次都画图吧？费时费力，而且有些函数图像很难画得准。所以得有个更靠谱的、能计算的方法。

一个比较基础的方法是用定义来判断。比如，要判断函数f(x)在区间(a, b)上是不是单调递增，我们就在这个区间里随便找两个点x1和x2，并且让x1 < x2。然后去计算f(x1)和f(x2)的值。如果不管x1和x2怎么取，只要x1 < x2，就总能得到f(x1) < f(x2)，那这个函数在这个区间上就是单调递增的。反过来，如果总是f(x1) > f(x2)，那就是单调递减。

这个定义法逻辑上很严谨，但实际用起来挺麻烦的，因为你要证明的是“任意”两个点都符合这个规律，而不是碰巧找的某两个点。所以，对于学了导数的朋友来说，我们有一个更强大的工具。

导数，本质上描述的是函数图像在某一点上的“斜率”或者说“瞬间变化率”。如果在一个区间里，函数的导数f'(x)恒大于0，说明图像上每一点的切线斜率都是正的，那图像肯定是“昂首挺胸”往上走的，所以函数在这个区间上就是单调递增的。 这个道理很直观，斜率是正的，不就是右边比左边高嘛。

同样，如果在一个区间里，导数f'(x)恒小于0，那图像上每一点的切线斜率都是负的，图像自然就是“垂头丧气”往下走的，函数在这个区间上就是单调递减的。 那要是导数等于0呢？导数等于0的点，通常是那些图像从上升转为下降，或者从下降转为上升的“山顶”或“谷底”的点。这些点非常关键，我们后面会详细说。

所以，用导数求函数单调性的步骤就很清楚了：

第一步：先确定函数的定义域。这个非常重要，因为你讨论单调性不能跑到函数不存在的地方去。

第二步：求函数的导数f'(x)。

第三步：解不等式f'(x) > 0 和 f'(x) < 0。解出来x的范围，就是函数的单调递增区间和单调递减区间。

我们来举个具体的例子。比如函数 f(x) = x³ – 3x。

首先，这个函数的定义域是所有实数，也就是(-∞, +∞)。

然后，我们求它的导数：f'(x) = 3x² – 3。

接下来，我们解不等式。

令 f'(x) > 0，也就是 3x² – 3 > 0。解这个不等式得到 x > 1 或 x < -1。所以，函数在(-∞, -1)和(1, +∞)这两个区间上是单调递增的。

令 f'(x) < 0，也就是 3x² – 3 < 0。解出来是 -1 < x < 1。所以，函数在(-1, 1)这个区间上是单调递减的。

你看，用导数是不是比用定义方便多了？我们把函数的“运动轨迹”分析得清清楚楚：从负无穷过来，函数值一直在增加，到了x=-1这个点，开始掉头往下，到了x=1这个点，又开始回头向上，一路高歌猛进。

搞清楚了单调性，找最值就水到渠成了。最值分为两种：一种是“局部”的，叫极大值和极小值；另一种是“全局”的，叫最大值和最小值。

极大值，就像一个山峰的顶，它比周围的点都高，但不一定是整座山脉的最高峰。极小值就像一个山谷的底，它比周围的点都低，但不一定是整个山脉的最低点。 刚刚我们提到的导数等于0的点，就很有可能是这些极值点。

具体来说，如果一个函数在x=c这个点的导数f'(c) = 0，并且在c的左边导数f'(x) > 0（函数递增），在c的右边导数f'(x) < 0（函数递减），那你想想，函数是不是先上坡再下坡？这样x=c这个点不就是一个“山顶”嘛，f(c)就是一个极大值。 反过来，如果在c的左边导数f'(x) < 0（函数递减），在c的右边导数f'(x) > 0（函数递增），那就是先下坡再上坡，x=c这个点就是一个“谷底”，f(c)就是一个极小值。

我们还是用刚才那个函数 f(x) = x³ – 3x 来分析。

它的导数是 f'(x) = 3x² – 3。令 f'(x) = 0，我们得到 x = -1 和 x = 1。这两个就是可能的极值点。

在x=-1的左边，我们知道函数是递增的（f'(x)>0），在x=-1的右边，函数是递减的（f'(x)<0），所以f(-1) = (-1)³ – 3(-1) = 2 是一个极大值。

在x=1的左边，函数是递减的（f'(x)<0），在x=1的右边，函数是递增的（f'(x)>0），所以f(1) = 1³ – 3(1) = -2 是一个极小值。

但是，极大值不一定是最大值，极小值也不一定是最小值。比如，刚才那个函数，当x越来越大时，f(x)可以无限大，所以它没有最大值。当x越来越小时，f(x)可以无限小，所以它也没有最小值。

那么，什么情况下函数一定有最大值和最小值呢？一个很重要的结论是：如果一个连续函数是在一个闭区间（也就是有明确起点和终点的区间，比如[a, b]）上讨论，那么它在这个区间上一定存在最大值和最小值。

寻找在一个闭区间[a, b]上的连续函数的最大值和最小值，方法也很固定：

第一步：找出函数在这个区间(a, b)内部所有导数等于0的点（也就是所有可能的极值点）。

第二步：计算这些极值点对应的函数值。

第三步：再计算区间两个端点a和b对应的函数值，也就是f(a)和f(b)。

第四步：把第二步和第三步算出来的所有函数值放在一起比较，里面最大的那个就是最大值，最小的那个就是最小值。

为什么要把端点也算上？因为有时候最值就藏在边界上。想象一下你在一段封闭的盘山公路上开车，最高点可能是在某个山顶（极值点），但也可能就是你出发的起点或者将要到达的终点，它们本身就处于整段路的最高或最低海拔。

我们还用 f(x) = x³ – 3x 这个函数，但这次我们把它放在闭区间里讨论。

第一步：我们已经知道，导数f'(x)=0的点是x=1和x=-1。在区间(0, 3)内部，只有一个点x=1。

第二步：计算这个可能的极值点的函数值：f(1) = -2。

第三步：计算两个端点的函数值：f(0) = 0³ – 3(0) = 0；f(3) = 3³ – 3(3) = 27 – 9 = 18。

第四步：比较这三个值：f(1)=-2，f(0)=0，f(3)=18。

很明显，最大值是18，在x=3这个右端点取到。最小值是-2，在x=1这个极小值点取到。

你看，整个逻辑链条非常清晰：从导数的正负，我们能判断函数的单调性（增减）；从单调性的变化，我们能找到函数的极值点（山顶和谷底）；最后，通过比较所有极值点和区间端点的值，我们就能在一个给定的闭区间里，准确地锁定函数的最大值和最小值。这个方法不仅在做数学题时有用，在解决实际问题建模时，也是一个核心的分析工具。