109是质数吗

109是质数。句号。

这事儿没什么好商量的。它就是一个质数。

但问题不是“是”或“不是”，而是“怎么知道的”以及“知道了又怎样”。很多人上学时背过100以内的质数表，2, 3, 5, 7, 11… 一路背到97。但109超出了这个范围，考试一般不考，所以大部分人看到它就得愣一下。

要判断一个数是不是质数，最笨的办法是什么？就是从2开始，一个一个去除。

你看，质数的定义很简单：一个大于1的自然数，除了1和它本身以外，再也找不到其他可以整除它的自然数。比如7，你只能写成 1 × 7，找不到其他整数相乘等于7了。但9就不行，除了 1 × 9，还有 3 × 3，所以9不是质数，而是合数。

那我们就用这个笨办法来试试109。
109 ÷ 2 = 54.5，有小数点，不行。
109 ÷ 3 = 36.333…，不行。
109 ÷ 4？等一下，如果一个数连2都除不尽，那它肯定也除不尽4、6、8这些2的倍数。所以我们只需要用质数去试就行了。这是第一个优化。
下一个质数是5。
109 ÷ 5 = 21.8，不行。
109 ÷ 7 = 15.57…，不行。
109 ÷ 11？9.9…，也不行。
…
这么试下去要试到什么时候？要一直试到108吗？当然不用。

这里有个特别好用的技巧，也是数学上判断质数的标准方法：开平方根。

你先估算一下109的平方根是多少。我们知道 10 × 10 = 100，11 × 11 = 121。所以109的平方根，肯定在10和11之间。具体是多少不重要，我们只要知道它比10大、比11小就行了。

现在，关键来了：我们只需要测试所有小于109平方根的质数，看它们能不能整除109。如果一个都不能，那109就一定是质数。

小于10点几的质数有哪些？掰着指头数一下：2, 3, 5, 7。
就这四个。

我们来一个个过一遍：

1. 测试2：109的个位数是9，是个奇数，肯定不能被2整除。通过。
2. 测试3：这里有个小窍门。判断一个数能不能被3整除，你把它的各位数加起来，看那个和能不能被3整除。1+0+9=10。10不能被3整除，所以109也不能。通过。
3. 测试5：这个更简单。能被5整除的数，个位数必须是0或者5。109的个位数是9。通过。
4. 测试7：这个没什么捷径，老老实实算一下。109 ÷ 7。10里面有1个7，余3。3和9组成39。39里面有5个7（5×7=35），余4。既然有余数，那就说明不能整除。通过。

好了，检查完毕。所有小于109平方根的质数（2, 3, 5, 7）都无法整除109。
结论：109是质数。

这个方法很可靠，比从2一直除到50多要快得多。

可能有人会问，为什么只用检查到平方根就行了？后面的数字不用管吗？比如，万一109能被13或者17整除怎么办？

这个逻辑其实很简单。你想，如果一个数 N 可以被一个大于它平方根的数 a 整除，那么 N = a × b。
既然 a > √N，那么为了让这个等式成立，b 就必须小于 √N。

举个例子，比如36。它的平方根是6。
我们找一个比6大的因子，比如9。36 ÷ 9 = 4。你看，另一个因子4，就比6小。
再找一个，12。36 ÷ 12 = 3。另一个因子3，也比6小。
所以，一个合数，如果它有一个大于其平方根的因子，那它必然也有一个小于其平方根的因子。它们是成对出现的。

我们回头看109。我们已经证明了，在小于10.44的范围里，找不到任何109的因子（除了1）。这就等于排除了在大于10.44的范围里存在因子的可能性。因为如果那边有，这边也必然会有一个配对的，但我们一个也没找到。

所以，开平方根这个方法是绝对靠谱的。这是数学逻辑，不是什么经验之谈。

讲到这里，可能有人觉得，搞这么复杂干嘛？知道109是不是质数，对我的生活有什么影响？买菜能便宜一毛钱吗？

确实不能。但质数这东西，比我们想象的要重要得多。它几乎是你现代生活安全的基石。

你每次上网购物、登录银行账户、用微信发消息，背后都有一套加密系统在保护你的信息安全。目前最流行的一种公钥加密算法，叫RSA，它的核心原理就建立在质数之上。

简单说一下它的工作方式，你就能明白质数有多重要了。
这个算法会选两个巨大无比的质数，我们叫它们 P 和 Q。这两个质数可能都有几百位长。
然后，算法把这两个质数乘起来，得到一个巨大的合数 N = P × Q。
这个 N 是可以公开的，谁都可以看到。它就是你的“公钥”的一部分。

加密的过程，就是用这个公开的 N 去把你的信息（比如银行密码）变成一堆乱码。
解密的过程，需要用回最开始的那两个质-数 P 和 Q。只有拥有 P 和 Q 的人（比如银行的服务器），才能把乱码还原成你的密码。

这里的安全关键在于：把两个大质数相乘，得到N，非常容易。小学生用笔算都能做到。但是，给你一个巨大的合数N，让你把它分解回P和Q，极其困难。

这个过程叫做“因数分解”。对于一个几百位的数字，用现在全世界最快的超级计算机去算，可能需要几十年甚至几万年才能算出来。

所以，只要没人能把银行的那个巨大的 N 分解成 P和 Q，你的信息就是安全的。
整个现代网络世界的安全，可以说就建立在“大数因数分解极其困难”这个数学事实上。而这一切的源头，就是质数。

所以，我们讨论109是不是质数，不仅仅是在做一个小学数学题。我们是在触摸现代密码学的地基。109本身当然很小，但理解它的性质，是我们理解整个数字安全世界的起点。

而且，质数本身也充满了神秘感。它们在数字世界里的分布看起来毫无规律，但又遵循着一些深刻的统计定律。无数数学家为之着迷，黎曼猜想这样的顶级数学难题，研究的就是质数的分布。

还有些常见的误区，顺便也说一下。

误区一：奇数都是质数。
这是最常见的错误。9、15、21、25、27… 随便就能举出一大堆是奇数但不是质数的例子。它们叫奇合数。2是唯一的偶质数，这倒是真的。

误区二：1是质数。
这个不对。质数的定义是“恰好有两个正因数”，也就是1和它本身。而1只有一个正因数，就是1。所以它既不是质数，也不是合数。它很特殊，自成一派。在数学上把它排除在质数之外，是为了让很多数学定理（比如算术基本定理）的表述更简洁。

误区三：越大的数越不可能是质数。
这个感觉上好像是对的，因为一个数越大，它“遇到”一个因子的机会似乎就越多。但数学上已经证明了，质数是无限多的。不管你找到一个多大的质数，总有一个比它还大。现在已知的最大质数已经有几千万位了，寻找更大的梅森质数甚至成了一个国际合作的计算项目。

所以，109这个数字，看起来普普通通。但通过判断它是不是质数的过程，我们实际上复习了定义，学会了高效的判断方法，理解了其背后的数学逻辑，还顺便触及了它在现实世界，特别是在网络安全领域的巨大作用。

这比单纯知道一个“是”或“不是”的答案，要有意思得多。