2019考研数学线性代数之二次型知识总结

二次型这部分，很多人觉得头疼。公式多，概念绕，还跟前面的特征值、特征向量搅和在一起。但其实你把它想明白了，它就是线性代数这门课的“大结局”，把前面的知识串起来了。考试里它通常是个大题，分值不低，啃下来很划算。

咱们先说二次型到底是啥。说白了，它就是一个关于多个变量的二次齐次多项式。比如 f(x1, x2) = x1^2 + 2x1x2 + 3x2^2 这种。考试不会让你就看着这个多项式发呆，第一步永远是让你把它写成矩阵形式，也就是 x^T A x。

这个 A 矩阵怎么写？这是最基础的一步，错了后面全完。记住两点：
1. 主对角线上的元素，就是 xi^2 项的系数。
2. 非主对角线上的元素 aij（第i行第j列），等于 xi*xj 这一项系数的一半。而且这个矩阵必须是对称的，所以 aij 和 aji 是一样的。

举个例子：f(x1, x2, x3) = x1^2 + 2x2^2 + 3x3^2 + 4x1x2 - 6x1x3 + 8x2x3
对应的矩阵 A 就是：
第一行: [1, 2, -3] (1是x1^2系数，2是4的一半，-3是-6的一半)
第二行: [2, 2, 4] (2是x2^2系数，2是4的一半，4是8的一半)
第三行: [ -3, 4, 3] (3是x3^2系数，-3是-6的一半，4是8的一半)
你看，这个 A 是不是一个对称矩阵？这一步是基本功，必须滚瓜烂熟。

写出矩阵A之后，二次型这部分的核心任务就来了：化二次型为标准型。
标准型就是只含有平方项的二次型，比如 y1^2 + 5y2^2 - 2y3^2 这种，没有 y1y2 这样的交叉项。为什么要做这一步？因为标准型能让我们一眼就看出这个二次型的“性质”，比如它是不是恒大于零。

怎么化成标准型？考研主要就两种方法。

方法一：配方法
这个方法名字听着就像初中数学，做起来也差不多。就是硬凑，把交叉项都凑到完全平方里去。
还是用刚才那个例子 f = x1^2 + 4x1x2 - 6x1x3 + ...
1. 先把所有含 x1 的项都抓出来：x1^2 + 4x1x2 - 6x1x3。
2. 把它配方，凑成 (x1 + 2x2 - 3x3)^2。但你展开这个平方，会多出来 4x2^2 + 9x3^2 - 12x2x3 这些项。
3. 所以在原式里，你得把这些多出来的项减掉。
4. 然后对剩下的只含 x2, x3 的项，重复这个过程。
最后，你就能得到类似 ( ... )^2 + ( ... )^2 + ( ... )^2 的形式。
令 y1 = ( ... )，y2 = ( ... )，y3 = ( ... )，这就成了标准型。

配方法的好处是直观，计算量可能不大。但它的缺点也很明显，如果第一项 x1^2 的系数是0，你就没法直接配了，得先做个变量代换，比如令 x1 = z1+z2 之类的，把平方项凑出来，很麻烦。考研数学题一般设计得比较巧，不会在这种地方卡你，但你得知道有这么个坑。

方法二：正交变换法
这是考试的重点，也是更“高级”的方法。它把二次型和特征值、特征向量完美结合。逻辑是这样的：任何一个二次型 x^T A x，我都能找到一个正交替换 x = Py，把它变成一个标准型 y^T Λ y。

这个 P 是什么？它是由矩阵 A 的标准正交化的特征向量构成的正交矩阵。
这个 Λ 是什么？它是一个对角矩阵，对角线上的元素正好就是矩阵 A 的所有特征值。

所以，用这个方法的步骤非常清晰：
1. 写出二次型的对称矩阵 A。
2. 求出 A 的所有特征值 λ1, λ2, ..., λn。
3. 标准型直接就写出来了：λ1*y1^2 + λ2*y2^2 + ... + λn*yn^2。
就这么简单。如果题目只要求你写出标准型，到这一步就结束了。

但如果题目还要求你写出那个正交变换 x = Py，那你还得继续：
4. 求出每个特征值对应的特征向量。
5. 如果一个特征值对应多个特征向量（也就是重根的情况），这些特征向量需要先做施密特正交化。
6. 把所有特征向量都单位化。
7. 最后把这些标准正交的特征向量作为列向量，拼成正交矩阵 P。

这个方法计算量大，求特征值、求特征向量、正交化、单位化，一步都不能错。但它的逻辑非常清晰，而且威力巨大。它告诉你，二次型的标准型本质上是由其矩阵的特征值决定的。

现在我们知道了怎么化标准型，那么化完之后干嘛用？这就引出了二次型里最常考的应用：判断正定性。

一个二次型 f(x)，如果对任何不为零的 x，都有 f(x) > 0，那它就是正定的。说白了就是，这个函数是不是永远取正值。

怎么判断？有几个等价条件，你必须像记乘法口诀一样记住它们。假设二次型的矩阵是 A：
1. A的所有特征值都大于0。这是最直观的。你想，标准型是 λ1*y1^2 + ...，如果所有 λ 都大于0，那只要 y 不全为0，结果肯定大于0。
2. A的各阶顺序主子式全大于0。这是考试中最快、最好用的方法。什么是顺序主子式？就是从 A 的左上角开始，依次取1×1, 2×2, 3×3, … , nxn的子矩阵，算它们的行列式。比如一个3×3矩阵 A，它的顺序主子式就是 |a11|，|[a11, a12; a21, a22]|，和 |A| 本身。如果这三个行列式都大于0，那 A 就是正定的。
3. 二次型的标准型里，所有项的系数都为正（也就是说，正惯性指数等于n）。

这三个条件是等价的。考试时，题目如果只问你“判断正定性”，或者“当k为何值时，二次型正定”，你第一时间就应该想到用“顺序主子式”这个方法。因为它只用算几个行列式，比求全部特征值快多了。

除了正定，还有负定（所有特征值<0）、半正定（所有特征值>=0）、不定（特征值有正有负）等。负定的判断方法类似：奇数阶顺序主子式为负，偶数阶顺序主子式为正。

总结一下考研复习的思路：
第一，搞清楚二次型和对称矩阵的对应关系，会写矩阵 A。
第二，掌握两种化标准型的方法。配方法要会，但重点是正交变换法，因为这关系到特征值。
第三，背熟判断正定性的几个等价条件，特别是顺序主子式法，这是快速解题的武器。
第四，多做题。二次型的计算不难，但步骤多，容易错。求特征值算错一个数，整个题就没了。把计算练熟，速度和准确率才能上去。

二次型这部分就是这样，看着吓人，其实就是把前面矩阵、行列式、特征值这些东西打包起来用一下。它的逻辑链条很清晰，只要你把每个环节都搞懂，分数就稳了。