积是什么

你有没有想过，“积”这个字，我们天天在说，比如“3乘以4的积是12”，但它到底是什么意思？为什么乘法的结果要叫“积”？这个词其实挺形象的。 “积”有积累、积攒的意思。你想，3乘以4，不就是4个3加在一起嘛，或者说是3个4加在一起。就像你把一堆东西堆起来，越堆越高，这就是一个积累的过程。所以，乘法的结果叫“积”，就是在说，这是由好几个同样的数“积累”起来的结果。

最开始，人们还没有乘法这个概念。需要算好几个同样东西的总数时，就只能一个一个地加。比如一个部落分到了5捆香蕉，每捆有4根，那总共有多少根？他们就只能4+4+4+4+4，掰着指头算半天，结果是20。后来，人们觉得这样太麻烦了，特别是当数量很大的时候，加法就显得很笨拙。于是，就发明了乘法，作为一种快速计算相同数字重复相加的简便方法。 像“九九乘法表”，就是我们祖先的一大发明，极大地简化了计算。

从一维的线到二维的面

最简单的积，就是我们小学学的算术乘法，处理的是单个的数字。你可以把这些数字想象成在一条直线上。3乘以4，就是把长度为3的线段，复制4次，然后连起来，得到的总长度就是12。这就像走路，你每步迈出0.8米，走了100步，那总共走的距离就是80米，这就是积。

但是，如果我们处理的问题不止一条线上的事呢？比如，你想知道一块地毯的面积有多大。这块地毯有长和宽，是二维的。假设它长3米，宽4米，那它的面积就是12平方米。你看，这里的“积”就不再是一条线段的长度了，它变成了一个平面的大小。这就是从一维的数字，扩展到了二维的空间。你把两个长度（一维的量）相乘，得到了一个面积（二维的量）。

这个想法很重要，因为它告诉我们，“积”这个概念，会根据我们处理的对象不同，而有不同的含义。它不仅仅是数字的累加，更是一种维度的扩展。

当“积”遇到方向：向量的点积

现在我们来聊点不一样的。在现实世界里，很多东西不光有大小，还有方向。比如你推一个箱子，你用的力气有大小，还有推的方向。风有风速，也有风向。在数学里，我们用一个叫“向量”的东西来表示这种既有大小又有方向的量。

那么，两个向量怎么做乘法呢？这就引出了好几种不同的“积”。第一种，叫“点积”，也叫“内积”或“数量积”。

点积的计算很简单，就是把两个向量对应方向上的分量分别相乘，然后加起来。比如向量A是(3, 4)，向量B是(5, 2)，那它们的点积就是 3×5 + 4×2 = 15 + 8 = 23。

这个结果23，是一个没有方向的数字，我们叫它“标量”。但它代表什么意思呢？点积的现实意义，是衡量两个向量在方向上的“一致程度”。点积的结果越大，说明两个向量的方向越接近。如果点积是0，那它们就正好垂直，或者说“正交”。

举个生活中的例子。你推着一辆割草机在草坪上走。你往前推，割草机也往前走。但是，你的力气并不是完全水平向前的，因为割草机的把手是斜的，所以你的推力也是斜着向下的。那么，你到底有多少力气是真正在“推动割草机向前”这个方向上起了作用呢？这个“有效力”的大小，就可以通过计算你的推力向量和割草机前进方向向量的点积来得到。 物理学上讲的“做功”，就是一个力在某个位移上产生的效果，计算方式就是力向量和位移向量的点积。

在电脑图形学里，点积也很有用。比如要判断光照在一个物体表面上的亮度。光线的方向是一个向量，物体表面某一点的朝向（法线）也是一个向量。这两个向量的点积，就能告诉我们光线是以多正的角度照射在这个表面上，从而决定了这里应该有多亮。

创造一个新维度：向量的叉积

除了点积，向量还有另一种乘法，叫“叉积”，也叫“外积”或“向量积”。 和点积不一样，叉积的计算结果不是一个数字，而是一个全新的向量。

这个新向量很特别，它的方向垂直于原来那两个向量所在的平面。怎么确定是向上还是向下垂直呢？这个可以用“右手定则”来判断：伸出你的右手，让四指从第一个向量的方向弯向第二个向量的方向，这时你竖起的大拇指所指的方向，就是叉积结果向量的方向。

叉积的大小呢？它等于以原来两个向量为邻边组成的平行四边形的面积。 所以，叉积衡量的是两个向量的“不平行程度”。如果两个向量方向完全一样或者是相反的，那它们就“围不成”任何面积，叉积的结果就是零向量。如果它们相互垂直，那围成的面积最大，叉积的大小也最大。

叉积在生活中有什么用？最直接的例子就是用扳手拧螺丝。你的手施加在扳手末端的力是一个向量，从螺丝中心到你手用力的点的连线（力臂）是另一个向量。这两个向量的叉积，就产生了一个叫做“力矩”的新向量。这个力矩的方向，就是螺丝旋转前进或后退的方向，垂直于你用力的平面。力矩的大小，决定了你拧螺丝的效果有多好。

在3D游戏或者计算机图形学里，叉积也至关重要。比如，要确定一个平面的朝向，就需要知道它的法线向量，也就是垂直于这个平面的向量。只要知道平面上的两个不平行的向量，对它们做一次叉积，就能立刻得到这个平面的法线向量。

处理复杂系统：矩阵的积

讲完了向量，我们再把问题搞得复杂一点。假如我们面对的不是单个的量，而是一个复杂的系统，里面有很多变量相互关联，怎么办？这时候就要用到“矩阵”了。你可以把矩阵看作是一个装满了数字的表格。

矩阵之间也可以做乘法，得到的也是一个矩阵，叫“矩阵积”。 矩阵的乘法规则比之前的要复杂一点：结果矩阵里第i行第j列的那个数，是由第一个矩阵的第i行和第二个矩阵的第j列，做“点积”得到的。

听起来有点绕，我们来看个具体的例子。

假设有一家饼店，卖三种派：牛肉派（3元/个）、鸡肉派（4元/个）、素菜派（2元/个）。我们可以把价格写成一个1行3列的矩阵（或者叫行向量）：

价格矩阵 A =

这家店记录了周一到周四每天卖出的派的数量，可以写成一个3行4列的矩阵：

销量矩阵 B =

(牛肉派)

(鸡肉派)

(素菜派)

现在，我们想知道这家店周一到周四每天的总收入。只要把价格矩阵A和销量矩阵B相乘，就能得到一个1行4列的结果矩阵C，分别代表周一到周四的总收入。

怎么算呢？

周一的收入（结果矩阵C的第1个元素） = A的第一行 × B的第一列 = (3×13) + (4×8) + (2×6) = 39 + 32 + 12 = 83元。

周二的收入（结果矩阵C的第2个元素） = A的第一行 × B的第二列 = (3×9) + (4×7) + (2×4) = 27 + 28 + 8 = 63元。

以此类推，我们可以算出每天的收入。

这个过程，就是矩阵乘法。它能把一个系统里的多个输入（比如每天卖出的不同派的数量）和另一个系统里的多个参数（比如每种派的价格）高效地结合起来，一次性算出最终的结果。在经济学、工程学、计算机科学等领域，矩阵乘法被广泛用来处理和分析复杂的线性系统。

所以你看，“积”这个概念，从最简单的数字相乘，到向量的点积和叉积，再到矩阵的乘法，它的内涵一直在扩展。每一种“积”，都是为了解决一类特定的问题而产生的。 它不再仅仅是数量的“积累”，而是可以表示方向的“投影”，可以创造新的“维度”，还可以描述整个系统的“变换”。下次再看到“积”这个字，或许你脑海里浮现的，就不再只是一个简单的乘法口诀了。