a的绝对值等于－a

我们来聊一个看起来有点绕的数学问题：“a的绝对值等于－a”。你第一次看到这个式子 |a| = -a 的时候，可能会觉得有点奇怪。绝对值不是说一个数到0的距离，应该是正的吗？怎么会等于一个负数呢？其实，这里的“-a”不一定是个负数。

我们先拆开来看。

绝对值的定义是什么？一个数在数轴上，它对应的点到原点（0点）的距离，就叫这个数的绝对值。距离是没有负数的，所以一个数的绝对值肯定是个非负数，也就是要么是正数，要么是0。

举几个例子：

3的绝对值是3，写作 |3| = 3。

-3的绝对值也是3，写作 |-3| = 3。

0的绝对值是0，写作 |0| = 0。

这个定义很简单，就是把一个数前面的负号去掉。如果是正数或者0，它本身就是它的绝对值。

现在回到我们今天讨论的那个式子：|a| = -a。

这个等式在什么情况下才能成立呢？我们来分情况讨论一下。

第一种情况：a是正数

我们随便找一个正数，比如 a = 5。

那么，|a| 就是 |5|，结果是 5。

而 -a 就是 -5。

这样一来，5 = -5，这显然是不对的。

所以，当a是正数的时候，|a| = -a 这个等式不成立。

第二种情况：a是0

如果 a = 0。

那么，|a| 就是 |0|，结果是 0。

而 -a 就是 -0，结果也是 0。

这样一来，0 = 0，这个等式成立。

所以，当a等于0的时候，|a| = -a 是成立的。

第三种情况：a是负数

我们再随便找一个负数，比如 a = -5。

那么，|a| 就是 |-5|，根据绝对值的定义，结果是 5。

而 -a 是多少呢？注意，这里是关键。a 本身是 -5，那么 -a 就是 -(-5)。两个负号放在一起，就变成了正号，所以 -(-5) 的结果是 5。

这样一来，|a| = 5，-a = 5，所以 5 = 5。这个等式也成立。

所以，当a是负数的时候，|a| = -a 也是成立的。

把上面这几种情况合在一起看，我们就能得出一个结论：当 a 是负数或者 a 是 0 的时候，等式 |a| = -a 成立。 换句话说，只要 a 不大于 0（a ≤ 0），这个式子就是对的。

这个结论有什么用呢？在解数学题的时候，这个结论可以直接拿来用，帮我们简化问题。

比如，你碰到一道题，说要解一个方程：|x – 2| = -(x – 2)。

如果你不了解我们今天说的这个结论，你可能会觉得很复杂，要去分情况讨论 x – 2 是大于0还是小于0。

但现在你懂了。这个方程的形式，正好就是 |a| = -a 的形式。在这里，a 就等于 (x – 2)。

既然这个等式成立，那么就说明 (x – 2) 这个整体，必须满足我们上面得出的结论，也就是 (x – 2) ≤ 0。

于是，这个看起来复杂的绝对值方程，一下子就变成了一个简单的不等式：

x – 2 ≤ 0

解这个不等式就太简单了，两边同时加上2，就得到：

x ≤ 2

所以，所有小于等于2的x，都是这个方程的解。你看，一个看起来挺唬人的绝对值问题，就这么轻松地解决了。这就是理解这个小知识点的好处，它能帮你把复杂问题变简单。

我们还可以从图像的角度来理解这件事。

我们画两个函数的图像：

第一个函数是 y = |x|。

第二个函数是 y = -x。

y = |x| 的图像你可能见过，它是一个V字形，顶点在原点(0,0)，对称轴是y轴。当x是正数时，y=x；当x是负数时，y=-x。

y = -x 的图像是一条直线，它经过原点(0,0)，并且从左上角斜着画到右下角。

现在，我们把这两个图像画在同一个坐标系里。你会发现，在y轴的左边以及y轴本身（也就是x ≤ 0的区域），那条直线 y = -x 和那个V字形的图像是完全重合的。

这说明了什么？

这说明，当 x ≤ 0 的时候，|x| 的值就等于 -x 的值。这和我们通过代数方法得出的结论是完全一样的，只是换了一种更直观的方式来表达。

所以，|a| = -a 这个式子，本质上是在告诉你 a 的取值范围。它不是一个让你去计算a的具体值的方程，而是一个描述a的性质的条件。看到它，你脑子里就要立刻反应过来：哦，这个 a，肯定不是一个正数。

我们再来深化一下。为什么我们一开始会觉得 |a| = -a 奇怪？是因为我们潜意识里把“-a”看成了一个负数。这是我们从小学开始养成的习惯，看到一个数前面带了负号，就觉得它肯定是负的。但到了初中，引入了字母代数之后，这个想法就要改一改了。一个代数式是正是负，不能光看它前面有没有负号。

当 a 本身是正数（比如 a = 5）时，-a（-5）才是负数。

当 a 本身是负数（比如 a = -5）时，-a（-(-5) = 5）就变成正数了。

所以，-a 只是表示“a的相反数”，它到底是正是负，完全取决于 a 自己是正是负。 一旦你理解了“-a”不一定是负数，那么理解 |a| = -a 就很简单了。这个等式是在说：“a的绝对值，等于a的相反数”。

我们再回头看看绝对值的定义，很多教科书上会这样写：

如果 a > 0，那么 |a| = a。

如果 a = 0，那么 |a| = 0。

如果 a < 0，那么 |a| = -a。

你看第三条，当 a 是一个负数时，它的绝对值就等于 -a。这和我们今天讨论的结论是完全一致的。因为当 a 是负数时，-a 才是一个正数，这才符合绝对值是“非负数”的定义。

所以，|a| = -a 这个式子，其实是绝对值定义的一部分。它告诉我们，对于任何小于等于零的数，它的绝对值就是它的相反数。这不仅仅是一个解题技巧，更是我们理解绝对值这个概念的基石之一。掌握了它，你对代数世界的理解就又加深了一层。