伴随矩阵性质

伴随矩阵这个东西，听起来就挺绕的。第一次接触的时候，很多人都会觉得有点懵，又是代数余子式，又是转置的。但实际上，只要搞清楚它是怎么来的，以及它有哪些脾气，用起来就会顺手很多。

首先，我们得知道伴’随矩阵是怎么构造出来的。 对于一个 n 阶方阵 A，你先得计算出它里面每一个元素的代数余子式。 所谓的代数余子式，就是把那个元素所在的行和列都划掉，剩下的部分形成一个新的、低一阶的行列式，然后根据位置决定是加正号还是负号。 算完所有元素的代数余子式之后，把这些结果按照原来的位置排成一个新矩阵，这个新矩阵叫做余子矩阵。 最后一步，把这个余子矩阵转置一下，也就是行变列、列变行，就得到了 A 的伴随矩阵，通常记作 A 或者 adj(A)。 简单来说，步骤就是：算代数余子式 -> 组成余子矩阵 -> 转置得到伴随矩阵。

搞清楚定义之后，最重要的就是它的性质了。伴随矩阵最有用的一个性质，就是它和原矩阵 A 以及单位矩阵 E 之间的关系。这个关系可以用一个核心公式来表示：A·A = A·A = |A|E。 这个公式说明，一个矩阵乘以它的伴-随矩阵，等于这个矩阵的行列式乘以单位矩阵。 这个性质是伴随矩阵很多其他性质的基础，可以说是它的“万能钥匙”。

从这个核心公式出发，我们可以直接推导出伴随矩阵和逆矩阵的关系。我们都知道，如果一个矩阵 A 可逆，那么一定存在一个逆矩阵 A⁻¹，使得 A·A⁻¹ = E。对比一下核心公式 A·A = |A|E，你会发现，只要把 |A| 除过去，A 就和 A⁻¹ 很像了。所以，当矩阵 A 的行列式 |A| 不等于 0 时，也就是 A 可逆的时候，它的逆矩阵就等于它的伴随矩阵除以它的行列式。 这就提供了一种计算逆矩阵的方法。 虽然对于阶数比较高的矩阵来说，用这个方法计算逆矩阵会很麻烦，因为要算很多个代-数余子式。但是在理论证明或者处理阶数比较低的矩阵时，这个关系就显得特别有用。

另一个很有用的性质是关于伴随矩阵的行列式。伴随矩阵本身也是一个方阵，所以它也有自己的行列式 |A|。它的值和原矩阵的行列式 |A| 有一个简单的关系：|A| = |A|ⁿ⁻¹，其中 n 是矩阵 A 的阶数。 这个公式可以从核心公式 A·A = |A|E 两边同时取行列式推导出来。左边的行列式是 |A||A|，右边的行列式是 (|A|)ⁿ，两边一除就得到了结果。这个性质在计算和证明题里也经常用到，比如，如果告诉你一个三阶矩阵的行列式是 2，那么你马上就能知道它的伴随矩阵的行列式是 2³⁻¹ = 4。

再来说说伴随矩阵的秩。矩阵的秩是一个非常重要的概念，它反映了矩阵的“有效性”或者说线性无关的行或列的数量。伴随矩阵的秩 r(A) 和原矩阵的秩 r(A) 之间的关系也很有规律，不过需要分情况讨论。

• 当 r(A) = n 时：这意味着矩阵 A 是满秩的，它的行列式 |A| 不为 0。 根据前面讲的，A = |A|A⁻¹，因为 |A| 是一个非零的数，而 A⁻¹ 也是满秩的，所以 A 也是满秩的。也就是说，r(A) = n。
• 当 r(A) = n-1 时：这个时候，矩阵 A 的行列式 |A| 等于 0。根据核心公式 A·A = |A|E，我们得到 A·A = 0（零矩阵）。这个式子说明 A 的所有列向量都是齐次线性方程组 Ax=0 的解。根据秩-零度定理，Ax=0 的解空间的维数是 n – r(A) = n – (n-1) = 1。这说明 A 的所有列向量都共线，所以 A 的秩最多是 1。又因为 r(A) = n-1，说明 A 至少有一个 n-1 阶的子式不为 0，也就是说 A 的代数余子式不全为 0，所以 A 不会是零矩阵。因此，r(A) = 1。
• 当 r(A) < n-1 时：在这种情况下，A 的所有 n-1 阶子式都等于 0。这意味着所有的代数余子式都为 0。 按照伴随矩阵的定义，A 的所有元素都是 0，所以 A 就是一个零矩阵，它的秩 r(A) 自然就是 0。

总结一下秩的关系就是：如果原矩阵满秩，伴随矩阵也满秩；如果原矩阵的秩降了一阶，伴随矩阵的秩就直接降到 1；如果原矩阵的秩降得更多，伴随矩阵就直接变成零矩阵。

除了这些，伴随矩阵还有一些其他的运算性质，比如：

• 转置的伴随等于伴随的转置：(Aᵀ) = (A)ᵀ。 也就是说，先对矩阵做转置再求伴随，和先求伴随再做转置，得到的结果是一样的。
• 数量乘法的伴随：(kA) = kⁿ⁻¹A。 给矩阵 A 乘以一个数 k，再求伴随矩阵，等于先求 A 的伴随矩阵，再乘以 k 的 n-1 次方。
• 伴随矩阵的伴随：(A) = |A|ⁿ⁻²A。 这个性质看起来有点复杂，但在一些理论推导中会用到。它把对伴随矩阵再做一次伴随的操作，和原矩阵以及它的行列式联系了起来。

理解这些性质的关键，不是死记硬背公式，而是要明白它们都是从最核心的公式 A·A = |A|E 推导出来的。只要抓住了这个根本，其他的性质都能顺理成章地理解。在实际应用中，比如解线性方程组或者进行矩阵变换时，这些性质能提供很多便利。