如何判断是否相似于对角矩阵

一个 n x n 的方阵 A，要判断它是不是“相似于对角矩阵”（或者说“可以对角化”），核心就一件事：检查它的特征向量（eigenvectors）够不够多。

什么叫“够不够多”？一个 n x n 的矩阵，就需要 n 个线性无关的特征向量。只要你能找齐这 n 个，那它就肯定可以对角化。找不到，那就没戏。这个是判断的黄金准则。

但是，一个一个去找特征向量然后检查它们是否线性无关，有时候挺麻烦的。所以，我们通常用一个更方便操作的等价方法来判断，这个方法涉及到两个概念：“代数重数”（algebraic multiplicity）和“几何重数”（geometric multiplicity）。

把这个判断过程拆解成几个清晰的步骤，跟着走就不会错。

第一步：计算所有不同的特征值 (Eigenvalues)

这是整个流程的起点。你需要解一个叫做“特征方程”的东西。这个方程是 det(A - λI) = 0。

• A 就是你要判断的那个方阵。
• λ (lambda) 是一个未知数，它代表的就是特征值。
• I 是单位矩阵，大小和 A 一样。
• det 表示计算行列式。

解这个关于 λ 的方程，你就能得到矩阵 A 的所有特征值。

举个例子。假设我们有矩阵 A = [[2, 1], [1, 2]]。

那么 A - λI 就是 [[2-λ, 1], [1, 2-λ]]。

它的行列式就是 (2-λ)(2-λ) - 11 = λ² - 4λ + 3。

让这个行列式等于 0，也就是解 λ² - 4λ + 3 = 0。因式分解一下，得到 (λ-1)(λ-3) = 0。所以，我们得到了两个不同的特征值：λ₁ = 1 和 λ₂ = 3。

第二步：确定每个特征值的“代数重数”

这个概念听起来很学术，但其实非常简单。它就是看某个特征值在特征方程里出现了几次。

• 在刚才的例子里，λ₁ = 1 和 λ₂ = 3 都只出现了一次。所以，λ₁ 的代数重数是 1，λ₂ 的代数重数也是 1。
• 再换个例子，比如解出来特征方程是 (λ-5)²(λ+2) = 0。那么特征值就是 λ₁ = 5 和 λ₂ = -2。其中，λ₁ = 5 是一个二重根，所以它的代数重数是 2。λ₂ = -2 的代数重数是 1。

把每个不同特征值的代数重数记下来，下一步要用。

第三步：计算每个特征值的“几何重数”

这是最关键的一步，也是最容易出错的地方。“几何重数”指的是对应于某个特定特征值 λ 的线性无关的特征向量的个数。

计算几何重数的公式是：几何重数 = n - rank(A - λI)。

• n 是矩阵的维度（比如 2×2 矩阵，n 就是 2）。
• rank 指的是矩阵的“秩”。一个矩阵的秩，可以理解为它行简化之后非零行的数量，代表了矩阵中线性无关的行或列的数量。

我们还是用刚才的例子 A = [[2, 1], [1, 2]]，它的特征值是 λ₁ = 1 和 λ₂ = 3。

1. 对于 λ₁ = 1：

   • 先计算 A - λ₁I，也就是 A - 1I = [[2-1, 1], [1, 2-1]] = [[1, 1], [1, 1]]。
   • 然后计算这个矩阵 [[1, 1], [1, 1]] 的秩。很明显，第二行是第一行的复制，可以通过行变换变成 [[1, 1], [0, 0]]。非零行只有一行，所以 rank(A - 1I) = 1。
   • 矩阵维度 n=2。所以，λ₁ = 1 的几何重数是 n - rank = 2 - 1 = 1。

2. 对于 λ₂ = 3：

   • 计算 A - λ₂I，也就是 A - 3I = [[2-3, 1], [1, 2-3]] = [[-1, 1], [1, -1]]。
   • 计算这个矩阵 [[-1, 1], [1, -1]] 的秩。第二行是第一行的 -1 倍，行变换后可以得到 [[-1, 1], [0, 0]]。非零行只有一行，所以 rank(A - 3I) = 1。
   • λ₂ = 3 的几何重数是 n - rank = 2 - 1 = 1。

第四步：比较代数重数和几何重数

现在，把每一步得到的结果放在一起。

判断准则：对于矩阵 A 的每一个特征值，如果它的几何重数都等于它的代数重数，那么这个矩阵 A 就可以对角化。只要有一个特征值不满足这个条件，那么 A 就不能对角化。

回到我们的例子 A = [[2, 1], [1, 2]]：

• 对于 λ₁ = 1：代数重数是 1，几何重数是 1。两者相等。
• 对于 λ₂ = 3：代数重数是 1，几何重数是 1。两者相等。

所有特征值都满足“代数重数 = 几何重数”的条件。因此，矩阵 A 是可以对角化的。

看一个不能对角化的反例

我们来看一个经典的例子，矩阵 B = [[1, 1], [0, 1]]。

1. 第一步：计算特征值。

   • det(B - λI) = det([[1-λ, 1], [0, 1-λ]]) = (1-λ)² - 0 = (1-λ)²。
   • 让 (1-λ)² = 0，得到 λ = 1。这里只有一个特征值。

2. 第二步：确定代数重数。

   • 因为特征方程是 (1-λ)² = 0，所以 λ = 1 是一个二重根。它的代数重数是 2。

3. 第三步：计算几何重数。

   • 计算 B - λI，也就是 B - 1I = [[1-1, 1], [0, 1-1]] = [[0, 1], [0, 0]]。
   • 这个矩阵 [[0, 1], [0, 0]] 的秩很明显是 1（因为它已经是一个行简化形式了，只有一个非零行）。
   • 矩阵维度 n=2。所以，λ = 1 的几何重数是 n - rank = 2 - 1 = 1。

4. 第四步：比较。

   • 对于特征值 λ = 1，它的代数重数是 2，但几何重数是 1。
   • 两者不相等。

结论：由于存在一个特征值，其代数重数不等于几何重数，所以矩阵 B 不能对角化。

这个例子清楚地说明了问题所在。矩阵 B 是一个 2×2 矩阵，但它只有一个线性无关的特征向量。你需要两个才能对角化，但你找不到。

一个有用的快捷方式

如果一个 n x n 矩阵有 n 个不同的特征值，那么它一定可以对角化。

为什么？因为如果一个特征值是唯一的，它的代数重数就是 1。而任何特征值的几何重数至少是 1（因为特征值存在，就至少有一个对应的特征向量），又不可能超过代数重数。所以，当一个特征值的代数重数是 1 时，它的几何重数也必须是 1。既然所有特征值的代数重数和几何重数都是 1，它们自然就相等了。

比如第一个例子 A = [[2, 1], [1, 2]]，它是一个 2×2 矩阵，有两个不同的特征值 1 和 3。根据这个快捷方式，我们甚至不用算几何重数，就能直接判断它可以对角化。

但如果矩阵有重复的特征值，就像第二个例子 B 那样，你就必须老老实实地走完四步流程，去计算和比较几何重数，才能做出最终判断。