离散型随机变量的概率分布

我们先从一个简单的问题开始：你扔一枚硬币，结果是什么？可能是正面，也可能是反面。这个结果是随机的。现在，我们把这个结果用数字来表示，比如说，正面记为1，反面记为0。这个可以取不同数值（这里是0或1）的变量，就叫做随机变量。

具体来说，如果一个随机变量的可能取值是有限的，或者虽然是无限的但可以一个一个数得过来（比如整数1, 2, 3, …），那它就是“离散型随机变量”。 扔硬币的结果、掷骰子的点数、一小时内网站的访问次数，这些都是离散型随机变量。它的特点就是，取值之间有明确的间隔，是跳跃的，不是连续的。 你掷骰子，点数可以是3，也可以是4，但绝不可能是3.5。

与它对应的是连续型随机变量，比如身高、体重、温度。这些变量可以取某个范围内的任何数值，是连续不断的。

搞清楚了什么是离散型随机变量，下一步就是它的概率分布。

概率分布，说白了，就是一张说明书，它告诉你这个随机变量取每一个可能值的概率分别是多少。 这张“说明书”可以用一个表格，也可以用一个函数公式来表示。对于离散型随机变量，我们通常用一个表格或者一个叫做“概率质量函数”（Probability Mass Function, PMF）的东西来描述它。

不管形式如何，一个有效的离散概率分布必须满足两个基本条件：

1. 所有可能结果的概率值都必须在0到1之间（包括0和1）。概率不可能是负数，也不可能超过100%。

2. 把所有可能结果的概率加起来，总和必须等于1。 这是因为所有可能的情况必然会发生一个，所以总概率是100%。

举个最简单的例子，掷一个标准的六面骰子。我们用随机变量 X 来表示掷出的点数。X 的可能取值就是 {1, 2, 3, 4, 5, 6}。因为骰子是均匀的，每个点数出现的可能性都一样。所以，它的概率分布可以用下面这个表格来表示：

你看，每个概率都是1/6，在0和1之间。而且 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 = 6/6 = 1。完全符合规定。有了这张表，你就可以回答关于掷骰子的任何概率问题，比如“掷出点数小于等于3的概率是多少？” 答案就是 P(X=1) + P(X=2) + P(X=3) = 1/6 + 1/6 + 1/6 = 3/6 = 1/2。

在现实世界中，很多随机事件的概率分布都呈现出一些固定的模式。人们把这些常见的模式总结出来，就成了一些著名的离散概率分布。下面我们聊聊几种最常用的。

1. 两点分布 (0-1分布 或 伯努利分布)

这是最简单的分布，没有之一。它描述的是一次只有两种可能结果的随机试验。 比如扔一次硬币（正面/反面）、产品质检（合格/不合格）、考试（通过/不通过）。我们通常把这两种结果记为1（成功）和0（失败）。

假设“成功”的概率是 p，那么“失败”的概率自然就是 1-p。 这就是两点分布。

它的概率分布可以写成：

P(X=1) = p

P(X=0) = 1-p

比如，一个篮球运动员罚球命中率是80%，那么他下一次罚球命中的结果就服从参数 p=0.8 的两点分布。P(投中) = 0.8，P(投不中) = 0.2。

2. 二项分布

两点分布是做一次试验，那如果我们把这个试验独立重复做 n 次呢？二项分布描述的就是在这种情况下，“成功”发生了 k 次的概率。

这里的关键词是“独立重复”。“独立”意味着每次试验的结果互不影响，你这次罚球进不进，跟你上次的结果没关系。“重复”意味着每次试验成功的概率 p 都是一样的。

二项分布的应用场景很多。比如：

扔10次硬币，恰好有6次是正面的概率。

生产线上抽检100个产品，恰好有2个次品的概率。

一个班有50个学生，随机访问发现有10个人支持某个提案的概率。

要计算这个概率，需要用到它的概率质量函数：

P(X=k) = C(n, k) (p^k) ((1-p)^(n-k))

这个公式看着复杂，其实很好理解：

C(n, k) 是组合数，表示从 n 次试验中选出 k 次成功，有多少种选法。

p^k 是 k 次成功的概率乘在一起。

(1-p)^(n-k) 是剩下 n-k 次失败的概率乘在一起。

举个例子：还是那个命中率80%的篮球运动员，他连续罚球5次，恰好投中4次的概率是多少？

这里 n=5, k=4, p=0.8。

P(X=4) = C(5, 4) (0.8^4) (0.2^1)

P(X=4) = 5 0.4096 0.2 = 0.4096

所以，他5次罚球投中4次的概率是40.96%。

3. 泊松分布

泊松分布处理的是在某个固定的时间段或空间区域内，某个事件发生的次数。 它的特点是，这些事件是独立发生的，而且发生的平均速率是固定的。

泊松分布的例子随处可见：

一个客服中心在一小时内接到多少个电话。

一本书的某一页上有多少个印刷错误。

某个路口在一天内发生多少起交通事故。

一滴水中含有多少个微生物。

泊松分布只用一个参数，叫做 λ (lambda)，表示单位时间/空间内事件发生的平均次数。

它的概率质量函数是：

P(X=k) = (λ^k e^(-λ)) / k!

这里 k 是我们关心的发生次数，e 是自然对数的底（约等于2.718），k! 是 k 的阶乘。

举个例子：某个公交站台平均每小时有10位乘客前来候车。那么，在接下来的一个小时内，恰好有8位乘客来的概率是多少？

这里 λ=10, k=8。

P(X=8) = (10^8 e^(-10)) / 8!

这个计算起来有点麻烦，通常我们会查表或者用计算器。结果大约是 0.1126，也就是11.26%。

一个有意思的地方是，当二项分布的 n 很大，p 很小的时候，可以用泊松分布来近似计算，这时 λ = np。 比如，一个工厂生产一大批零件，次品率是0.1%。随机抽检2000个，恰好有3个次品的概率，用二项分布算很麻烦，但可以用 λ = 2000 0.001 = 2 的泊松分布来估算，会简单很多。

4. 几何分布

几何分布和二项分布有点像，都是基于重复的伯努利试验。但它关心的问题不一样。几何分布问的是：为了取得第一次成功，我需要尝试多少次？

这个随机变量 X 是试验的次数。

比如：

你不停地掷骰子，直到第一次掷出6点为止，总共掷了多少次？

一个销售员不停地打电话，直到签下第一单为止，总共打了多少个电话？

几何分布的概率质量函数很简单：

P(X=k) = ((1-p)^(k-1)) p

这个也很好理解：前 k-1 次都失败了，概率是 (1-p)^(k-1)，第 k 次终于成功了，概率是 p。

举个例子：有一种抽奖活动，中奖率是5%。你打算一直抽，直到中奖为止。那么，你恰好在第10次抽奖时才中奖的概率是多少？

这里 p=0.05, k=10。

P(X=10) = ((1-0.05)^(10-1)) 0.05

P(X=10) = (0.95^9) 0.05 ≈ 0.630 0.05 = 0.0315

所以，这个概率大约是3.15%。

理解这些分布，不是为了记住公式，而是为了能把现实世界的问题，对应到合适的数学模型上。当你遇到一个关于随机事件的问题时，可以先判断它是不是离散的。然后，根据问题的特点，是问“n次里有k次成功”？还是“单位时间里发生k次”？还是“第一次成功需要k次”？这样就能找到合适的工具来分析和解决问题。这在质量控制、金融保险、交通管理等很多领域都很有用。