国考《行测》知识点：巧解被“弹冠”支配的恐惧

说到国考行测，很多人最头疼的就是数量关系，而在数量关系里，“排列组合”绝对是让人想骂街的存在。这玩意儿就像初中时的物理题，说难不难，但总能精准地绕晕你，一不小心就中了出题人的圈套。那种感觉，就好像你辛辛苦苦算了半天，结果发现选项里根本没你那个数，或者干脆有好几个看着都像正确答案的，瞬间心态就崩了。

别怕，今天咱们就来聊聊怎么对付这些烦人的“小球”和“格子”。其实排列组合没那么玄乎，它就是一种计数方法，只不过花样多了点。只要我们把它的底层逻辑搞清楚，再记住几个常用公式和方法，大部分题目都能搞定。

第一步：先分清“排列”和“组合”，这是基础中的基础

很多人错就错在第一步，没分清到底是用排列（A）还是组合（C）。其实区分起来很简单，就问自己一句话：“换个顺序，结果一样吗？”

如果换个顺序，结果就不一样了，那就是排列（Arrangement）。比如，从三个人（甲、乙、丙）里选两个人出来，分别担任正、副班长。如果选的是甲当正班长，乙当副班-长，这是一种结果。但如果选的是乙当正班长，甲当副班-长，这又是另一种结果了。顺序一换，意义就变了，所以这是排列问题。

如果换个顺序，结果还是一样的，那就是组合（Combination）。比如，还是从这三个人里选两个人出来去打扫卫生。选了甲和乙，跟选了乙和甲，有区别吗？没区别，反正都是这俩人去干活。顺序不影响最终结果，这就是组合问题。

搞清楚这个，公式就好记了。排列数公式是 A(n, m) = n! / (n-m)!，组合数公式是 C(n, m) = n! / (m! (n-m)!)。你看，组合数公式就是在排列数的基础上，除以了一个 m!，这个 m! 就是因为那 m 个元素不管怎么排顺序，都只算一种情况，所以要把它除掉。

第二步：掌握几种“耍赖”的解题方法，比硬算快得多

硬套公式当然可以，但很多时候，出题人设计的题目就是为了让你绕圈子。这时候，一些“不讲武德”的方法反而更有效。

1. 插空法：专门对付“不相邻”问题

题干里只要看到“A和B不能相邻”、“某两个东西必须隔开”这种字眼，直接想“插空法”。

举个例子：有5个男生和3个女生排成一排，要求3个女生互不相邻，有多少种排法？

你别去想女生怎么排，先让那5个男生站好队。5个男生随便排，有多少种方法？是 A(5, 5) = 5! = 120 种。

男生站好后，他们之间以及队伍的两头，会形成几个空位？你想想，5个人，他们之间有4个空，队伍最前面和最后面各有1个空，所以一共是 4 + 2 = 6 个空位。

现在，我们把3个女生往这6个空位里“插”进去，每个空位最多只能站1个女生。从6个空位里选3个出来让女生站，而且女生站的顺序不同，排法也不同（比如女生A站第一个空和站第二个空是两种情况），所以是排列问题。从6个空位选3个进行排列，就是 A(6, 3) = 6 5 4 = 120 种。

最后一步，把男生和女生的排法乘起来，因为这是分步完成的。总排法 = 120 120 = 14400 种。你看，先安排没要求的元素，再把有要求的元素插进去，思路是不是清晰多了？

2. 捆绑法：专门对付“必须相邻”问题

跟插空法正好相反，题干里看到“A和B必须在一起”、“某几个东西要捆绑”这种话，就用“捆绑法”。

再举个例子：还是5个男生和3个女生排队，这次要求3个女生必须站在一起，有多少种排法？

既然她们必须在一起，那我们就把这3个女生用绳子“捆”起来，当成一个整体来看。现在排队的就不是8个人了，而是“5个男生”+“1个女生团体”，一共是6个“元素”。

这6个“元素”随便排队，有多少种方法？A(6, 6) = 6! = 720 种。

但是别忘了，被我们捆起来的那3个女生，她们内部自己也是可以换位置的。3个女生内部的全排列是 A(3, 3) = 3! = 6 种。

所以，总的排法就是把这两步乘起来：720 6 = 4320 种。先把需要相邻的元素看成一个整体，算外部排列，再算内部排列，最后相乘，齐活。

3. 隔板法：解决“相同物品分配”问题

这种题型也很有特点，通常是把一些完全相同的东西（比如糖果、小球）分给几个人，并且要求每个人至少分到一个。

比如：把10个相同的苹果分给3个小朋友，要求每个小朋友至少分到1个，有多少种分法？

直接想很难想，但用“隔板法”就很简单。你想象一下，把这10个苹果排成一排，它们之间有几个空隙？是 10 – 1 = 9 个空隙。

现在，我们要把这10个苹果分成3份，只需要在这9个空隙里插入2个“隔板”就行了。比如，我们在第2个苹果和第3个苹果之间放一个隔板，在第6个和第7个之间放一个隔板，这就分成了“2个苹果”、“4个苹果”、“4个苹果”三堆，对应分给3个小朋友。

所以，问题就转化成了：从9个空隙中，选择2个位置来放隔板。这只是选择位置，跟隔板的顺序无关，所以是组合问题。从9个里面选2个，就是 C(9, 2) = (9 8) / (2 1) = 36 种。

隔板法的核心就是，如果要分成n份，就插n-1个板子。板子的数量比要分的份数少1。

第三步：正难则反，学会从对立面思考

有时候，正面硬刚太复杂，情况太多，算起来容易漏。这时候不妨换个思路，算算它的反面是什么情况，然后用总数减去反面的情况数，可能一下就简单了。

比如：从1到100这100个自然数中，任取两个数，使得它们的和为偶数，有多少种取法？

正面思考的话，要分两种情况：

情况一：两个数都是偶数。1到100里有50个偶数，从50个偶数里选2个，是 C(50, 2) = (50 49) / 2 = 1225 种。

情况二：两个数都是奇数。1到100里有50个奇数，从50个奇数里选2个，是 C(50, 2) = 1225 种。

两种情况加起来，总共是 1225 + 1225 = 2450 种。

这道题正面算还好，不算太复杂。但如果换个问法，有时候反面就简单得多。我们来看一个适合用反面思考的例子：

从6名男医生和5名女医生中选出4人组成一个医疗小队，要求小队中至少有1名女医生，问有多少种不同的选法？

“至少有1名女医生”，这个“至少”就是个信号。它的反面是什么？就是“1名女医生都没有”，也就是“全都是男医生”。

我们先算总共有多少种选法，不管男女。总共11个人，选4个，就是 C(11, 4) = (11 10 9 8) / (4 3 2 1) = 330 种。

再算反面的情况：只选男医生。从6个男医生里选4个，就是 C(6, 4) = C(6, 2) = (6 5) / 2 = 15 种。

那么，至少有1名女医生的选法，就是用总数减去一个女医生都没有的情况数：330 – 15 = 315 种。

如果你正面去算，就要分“1女3男”、“2女2男”、“3女1男”、“4女0男”四种情况，然后分别计算再相加，麻烦得多，还容易算错。

最后，做几道题巩固一下

理论说了这么多，不做题都是纸上谈兵。排列组合这东西，必须得自己动手算几遍才能真正理解。找几道典型的例题，先自己分析，这道题到底是在考什么？用排列还是组合？适合用插空、捆绑还是隔板？正面算简单还是反面算简单？

把这个思考过程走一遍，再动手去算。错了不要紧，关键是搞清楚自己错在哪里，是概念没分清，还是方法用错了。多练几次，你就会发现，排列组合的题型翻来覆去就那么几种，套路都是固定的。下次再见到“不相邻”、“必须挨着”、“至少有一个”这些关键词，你脑子里就能自动弹出对应的解题方法。到那时，排列组合就不再是你的恐惧，而是你的得分项了。