国考《行测》知识点：方程思想解决和定最值

行测里的数量关系，很多人一看到就头大，觉得是数学，算不明白。但其实很多题不是纯考你计算，是考你一种思维方式。今天就聊一个特别常见的考点：“和定最值”，然后告诉你怎么用最简单直接的方程思想把它搞定。

说白了，“和定最值”就是给你一堆数的总和是固定的，然后问你其中某个数最大能是多少，或者最小能是多少。比如，5个班级一共种了100棵树，每个班种的树都不一样多，问种树最多的那个班，最多能种多少棵？或者最少得种多少棵？

这种题你干想是想不明白的，很容易绕进去。用方程的思路，一步一步来，就特别清晰。

我们先拆开看，这种问题其实就两种问法。

第一种，也是最简单的一种：求最大值的最大值。
比如刚才那个问题：5个班级，总共100棵树，每个班数量都不同，问最多的那个班，最多能种多少棵？

这问题的核心逻辑就一句话：要想让某一个最大，就得让其他的尽可能小。

这就跟分钱一样。我有100块要分给5个人，要让其中一个人拿的钱最多，那我就得让另外4个人拿的钱尽可能少。对吧？这个逻辑很直接。

现在我们把它变成数学步骤：
第一步：设未知数，列出基本方程。
我们假设5个班种的树从多到少分别是 A, B, C, D, E。
那么 A > B > C > D > E。
方程就是 A + B + C + D + E = 100。
我们的目标是求 A 的最大值 (max A)。

第二步：应用核心逻辑，给其他变量赋值。
要想让 A 最大，B, C, D, E 就得尽可能小。
题目里还有个隐藏条件，种树的数量肯定是正整数。所以，最小的可能值是多少？
E 最小得是 1。
因为每个班数量都不同，所以 D 最小就是 2。
同理，C 最小是 3，B 最小是 4。
这就是 B, C, D, E 能取到的最小合法值了。

第三步：代入方程，求解。
把 B=4, C=3, D=2, E=1 代入我们的方程：
A + 4 + 3 + 2 + 1 = 100
A + 10 = 100
A = 90

所以，A 的最大值就是90。也就是说，种树最多的那个班，最多能种90棵。
这时候你可以验证一下：A=90, B=4, C=3, D=2, E=1。加起来等于100，而且90 > 4 > 3 > 2 > 1，完全符合题意。

这种“求最大值的最大值”的题，思路都是固定的。不管题目怎么变，是分书、是年龄、还是别的什么，只要看到“和固定”、“求最大那个的最大值”，你就马上想到“让其他几个取最小值”，然后列方程求解，肯定不会错。

接下来是第二种，稍微绕一点，也是很多人容易错的：求最大值的最小值。

还是那个问题：5个班级，总共100棵树，每个班数量都不同，问最多的那个班，最少需要种多少棵？

你看，问题变了。不是问最多能种多少，是问“最多的那个班”这个角色，至少要种多少棵才能满足条件。

这里的核心逻辑也变了：要让最大的那个数尽可能小，就得让所有的数尽可能地接近。

再用分钱的例子。还是100块分5个人，每个人钱数还不一样。要让拿钱最多的那个人，拿的钱也尽可能少，怎么办？那就不能出现贫富差距巨大的情况。最好的情况是，大家拿的钱都差不多，只差一块钱这种。这样，那个最有钱的人，也不会太有钱。

这种“让大家尽可能接近”的思想，在数学上怎么操作呢？就是从“平均数”入手。

第一步：求平均数。
100棵树，5个班，平均每个班是 100 / 5 = 20棵。
如果题目允许数量一样，那最理想的情况就是每个班都种20棵，这样最大的那个数就是20，也是最小的可能值。

第二步：根据平均数，构造连续的数列。
但是题目要求“每个班数量都不同”。所以它们不能都是20。
那我们就以20为中心，构造一个公差为1的等差数列，让这5个数均匀地分布在20的两边。
这5个数就是：18, 19, 20, 21, 22。
你看，这5个数是不是非常接近？

第三步：验证数列是否满足条件，然后得出答案。
我们来验证一下：
1. 数量不同吗？是的，18, 19, 20, 21, 22，各不相同。
2. 总和是100吗？18+19+20+21+22 = 100。是的。
3. 都是正整数吗？是的。

所有条件都满足了。在这个数列里，最大的数是22。因为我们已经让这5个数尽可能地接近了，所以这个22，就是“最大的那个数”能取到的最小值。
如果A不是22，比如是21，那么为了总和达到100，其他数就得变大，很快就会有某个数比21还大，那21就不是最大的数了，与题设矛盾。

所以，这道题的答案就是22棵。

这里还有个小细节。如果总和除不尽怎么办？
比如是101棵树分给5个班。
101 / 5 = 20.2。
平均数是小数，但树的数量必须是整数。这时候，你就把这几个数围绕着20和21来构造。
你可以先写出 _ , _ , 20, 21, _ 这样的结构。为了凑够101，你可以把数调整成 18, 19, 20, 21, 23。
加起来算一下：18+19+20+21+23 = 101。满足条件。
这时候，最大的数是23。所以这种情况下，最多的班级最少要种23棵。

总结一下两种情况的解题思路：
问“最大值的最大值”：让其他项取允许的、不重复的最小值。
问“最大值的最小值”：先求平均数，然后围绕平均数构造一个连续的整数数列。

我们再来看一个带点限制条件的真题，巩固一下。
“某单位7个科室参加植树活动，共植树120棵。要求每个科室植树数量不同，且每个科室至少植树12棵。问植树最多的科室，最多可以植多少棵？”

看到问题“最多的科室，最多……”，马上反应过来，这是第一种类型：求最大值的最大值。
核心逻辑：让其他科室植树数量尽可能少。

第一步：设未知数，列方程。
7个科室从多到少是 A, B, C, D, E, F, G。
A > B > C > D > E > F > G。
A + B + C + D + E + F + G = 120。
目标：求 max A。

第二步：根据限制条件，给其他变量赋最小值。
要让 A 最大，就得让 B, C, D, E, F, G 最小。
限制条件有两个：1. 数量不同；2. 至少12棵。
所以，G 的最小值不是1，而是12。
因为数量不同，F 的最小值就是13。
以此类推，E=14, D=15, C=16, B=17。
这就是其他6个科室能取的最小合法值。

第三步：代入方程，求解。
A + 17 + 16 + 15 + 14 + 13 + 12 = 120
A + (17+12) * 6 / 2 = 120 (等差数列求和，或者直接加)
A + 87 = 120
A = 33

所以，植树最多的科室，最多可以植33棵。
验证一下：A=33，比B=17要大，符合 A > B > … > G 的设定。

你看，不管题目怎么包装，核心的解题框架是不变的。把文字问题转化成一个简单的代数方程，再根据问的是“最大值的最大值”还是“最大值的最小值”，套用对应的逻辑去给其他变量赋值，问题就迎刃而解了。

这种方法的好处是，它很稳定，不会因为你当天状态不好或者紧张就想不出来。它是一个流程，你只要跟着流程走，就能把分数稳稳拿到手。别再去凭感觉猜数字了，不仅慢，而且很容易出错。把方程思想用起来，你会发现数量关系其实没那么可怕。